项目二 单相正弦交流电路

任务引入

电伴随着我们成长，日常所使用的电几乎都是交流电，即使某些使用直流电的设备，其直流电往往也是由交流电转换而来。交流电应用如此广泛，不仅是因为交流电生产简单经济，更主要的是可用变压器改变其电压的大小，便于远距离输电并提供用户需要的等级电压。而什么是交流电？与直流电路相比，交流电路又具有什么特殊之处呢？

技能目标

1.能分辨交、直流电，指出正弦交流电的三要素；

2.会用波形图、三角函数式和相量图表示正弦交流电，能将波形图、三角函数式和相量图表示法相互转换；

3.能写出感抗、容抗的表达式，说明电感、电容的特性；

4.能够分析计算纯电阻、纯电感、纯电容电路中电压、电流大小及相位关系和有功功率、无功功率；

5.能够分析计算电阻电感串联电路电压、电流大小及相位关系和有功功率、无功功率；说明功率因数的含义，能够采取措施提高功率因数；

※6.明确电阻电感电容串联电路电压、电流大小及相位关系，指出串联谐振的条件及特点。

相关知识

2.1 正弦交流电

大小和方向随时间作周期性变化的电动势、电压和电流统称为交流电。交流电分为正弦交流电和非正弦交流电两大类。正弦交流电是指按正弦规律变化的交流电，其他不按正弦规律变化的交流电统称为非正弦交流电。图2-1给出了几种直流电和交流电的波形图，其中图2-1（a）是恒定直流电，图2-1（b）是脉动直流电，图2-1（c）是正弦交流电，图2-1（d）是非正弦交流电。这里只讨论正弦交流电。

交流电的特征表现在其变化的快慢、大小及初始值三个方面，而它们分别由频率（或周期、角频率）、幅值（或有效值）和初相来确定，所以，频率、幅值和初相称为交流电的三要素。

一、正弦交流电三要素

1.周期、频率和角频率

（1）周期。交流电变化一周所需的时间称为周期，用T表示，周期的国际制单位是秒（s），如图2-2所示。

（2）频率。交流电每秒变化的次数称为频率，用f表示，频率的国际制单位是赫兹（Hz）。显然周期和频率互为倒数，即

我国供电电源的频率为50Hz，称为工业标准频率，简称工频。

不同的技术领域使用各种不同的频率。例如，高频炉的频率是200～300kHz；高速电动机的频率是150～2000 Hz；通常无线电领域的中波段频率为530～1600kHz，而短波段的频率为2.3～23MHz。

（3）角频率。正弦交流电每秒变化的弧度数称为角频率，用ω表示，角频率的国际制是弧度/秒（rad/s）。在一个周期T内，正弦交流电变化了2π弧度，故ω、T和f之间的关系为

例2-1 已知f=50Hz，试求T和ω。

2.瞬时值、最大值、有效值

（1）瞬时值。交流电每一瞬间的值称为瞬时值。电流、电压和电动势的瞬时值分别为i、u、e。

（2）最大值。最大的瞬时值称为最大值或幅值，用大写字母加下标m表示，则电流、电压及电动势的最大值分别表示为Im、Um及Em。

（3）有效值。通常采用有效值来衡量交流电大小。交流电的有效值是根据电流的热效应定义的，就是在相同时间内与它热效应相等的直流值。如图2-3所示，一交流电流i和直流电流I分别通过同一个电阻R，如果在相同的时间内产生的热量相等，则此直流电的值就为该交流电的有效值。有效值用大写字母表示，I、U、E分别表示电流、电压和电动势的有效值。

根据理论计算，正弦量的有效值与最大值间有如下关系，即

通常所说的220V、380V交流电是指有效值，使用交流电的电气设备上所标注的额定值、一般交流电表测出的数值都是指有效值。

例2-2 已知某正弦交流电动势为e=311sin(314t)V，试求该电动势的最大值、有效值和在t=0.1s时的瞬时值。

解 由已知条件可分别求得电动势的最大值和有效值为

3.相位、初相位、相位差

（1）相位。在i=I m s i n（ωt+φ0）中，（ωt+φ0）是随时间变化的电角度，能反映出不同瞬间正弦交流电的值，确定正弦量的状态。（ωt+φ0）称为交流电的相位角，简称相位。

（2）初相位。t=0时所对应的相位角φ0为初相角，简称初相。初相反映了正弦量的计时起点的状态，初相可正、可负，也可以为零，但给定其绝对值不大于180°。

（3）相位差。两个同频率正弦量的相位之差称为相位差，用φ表示。

在图2-4中，电压u和电流i的表达式分别为

则电压u的相位为（ωt+φ01），电流i的相位为(ωt+φ0 2)，相位差为

可见，频率相同的交流电的相位差就等于它们的初相之差。通过相位差可以比较同频率交流电之间的相位关系。如图2-4（a）所示，若0＜φ＜π，则电压u的相位超前于电流i；如图2-4（b）所示，若-π＜φ＜0，则电压u的相位滞后于（落后）电流i；如图2-4（c）所示，若φ=0，则称两者同相位，简称同相；如图2-4（d）所示，若φ=±π，则称两者相位相反，简称反相。

由上可知，当交流电的三要素确定时，交流电也就被确定了。已知正弦交流电的三要素，即可画出波形图、写出三角函数表达式，还可比较两个同频率交流电之间的相位关系。

例2-3 已知某交流电动势为，求该电动势的三要素。

解 由已知条件可得

例2-4 已知电动势，i=I m sin ωt，试求e与i之间的相位差。

解 相位差φ rad 4 4 π π= -0=，即e比i超前4π rad，即超前45°相角。

二、正弦交流电的表示法

正弦量有多种表示法，常用的有三角函数式法、波形图法、相量法。

1.三角函数式表示法

三角函数表示法是用瞬时表达式来表示交流电随时间变化关系的方法，它是正弦量的基本表示法。一般，正弦交流电动势、电压和电流的瞬时表达式可分别表示为

瞬时表达式中含有了正弦量的三个要素：幅值（Em、Um、Im）、角频率（ω）和初相位（φe、φu、φi）。

例2-5 某正弦交流电压的有效值为U=220V，周期T=0.02s，当t=0时，u(0)=220V，求u的瞬时表达式。

解 根据式（2-3）得

根据式（2-2）得

根据式（2-5），得

u=220 2 sin(ωt+φu)=220 2 sin(314t+φu)

由于当t=0时，u(0)=220V，即

因此，所求的瞬时表达式为

2.波形图表示法

波形图表示法是根据表达式计算数据在平面笛卡儿坐标系中作出的三角函数波形图，如图2-2所示。它直观地反映出交流电的最大值、角频率、初相及瞬时值随时间变化的规律。精确程度取决于所选定时刻的间隔，可见波形图是对正弦量的近似表示。利用示波器观测交流信号，所看到的正是其波形图。

3.相量表示法

大家在物理学中学过力的相量表示法，借助于力的相量概念，用相量来表示交流电。

相量法，就是由直角坐标的原点作相量来表示交流电的方法。相量的长度表示交流电的最大值或有效值，相量与横轴的夹角表示初相角。正弦交流电相量用有效值或最大值符号上加一圆点表示，如、、或、、分别表示正弦电动势、电压和电流的最大值相量或有效值相量。

我们规定，在同一笛卡儿坐标系中，只可画出同频率的交流电相量，这样一来，同一坐标系中作出的各相量都以相同的角频率ω逆时针旋转，各相量间的相位差保持不变，故只画出初始时刻的相量并省略了角频率ω。

例2-6 已知两个交流电流的最大值为和，初相角为 和-，角频率为100π，试写出它们的瞬时表达式，作出它们的相量图。

解 由交流电的一般表达式可得对应的瞬时表达式为

选一坐标原点，作相量，其长度为，初相为；由同一坐标原点作另一相量，其长度为，初相为-。图2-5为它们的相量图。

正弦量用相量表示后，同频率正弦量的运算可以转化为相量的运算，例如，u=u1+u2可以转化为，i=i1-i2可以转化为。同样，基尔霍夫定律也可用相量表示为和。

例2-7 已知，，求u=u1+u 2。

解 由同一坐标中作出相量和，并作出其平行四边形，求得合成相量，如图2-6所示。

由图2-6可知，各相量大小之间满足

所以

例2-8 若交流电路中某节点处有i=i1+i2，其中电流、

，计算i。

解 为方便起见，采用最大值相量，在同一坐标中作出相量I˙1m，长度为3，初相为-；作出相量I˙2m，长度为4，初相为。以I˙1m和I˙2m为两邻边作一平行四边形，此平行四边形的对角线就是电流i的相量。在图2-7中直接量取得

Im=5A

φ=23°

所以

i=i1+i2=5sin(314t+23°)A

2.2 纯电阻电路

交流负载一般是电阻、电感、电容或它们的不同组合。在交流电路只有电阻的电路称为纯电阻电路；只有电感的电路称为纯电感电路；只有电容的电路称为纯电容电路。实际上，几乎没有单一参数的纯电路存在，但为分析交流电路的方便，常先从分析纯电路所具有的特点着手。

日常生活中使用的白炽灯、电阻炉等电器组成的电路均可看作纯电阻电路，如图2-8所示。

一、电压和电流的关系

在交流电路中，电阻端电压和流过它的电流符合欧姆定律，按图2-8所示电压u和电流i的参考方向一致，可写成

设加在电阻两端的电压为

u=U m sin ωt

则在电路中有电流i通过，则

比较上面两式即可看出，在纯电阻电路中，电流与电压的频率相同；电流与电压的相位相同（即相位差φ=0），其波形和相量分别如图2-9（a）与图2-9（b）所示。在式（2-6）中，得

可见，电流和电压的最大值之间、电流和电压的有效值之间仍符合欧姆定律的关系。

二、功率

在交流电路中，电压和电流的瞬时值的乘积为ui，称为瞬时功率，用小写字母p表示，即

由图2-9中的瞬时功率曲线可见，瞬时功率虽然随时间变化，但在任一瞬间数值都为正值，这说明电阻是消耗功率元件。

通常用瞬时功率在一个周期内的平均值来衡量纯电阻电路消耗的功率，称为平均功率，又称有功功率，用大写字母P表示。可证明，纯电阻电路中的有功功率为

由此得出，纯电阻电路消耗的有功功率等于电压和电流有效值的乘积，有功功率的国际制单位是瓦（W）或千瓦（kW）。

例2-9 已知某白炽灯工作时的电阻为484Ω，其两端所加的电压为u=311sin 314tV，试求：（1）电流的有效值并写出电流的瞬时表达式；（2）白炽灯的有功功率。

解（1）由u=311sin 314tV可知，交流电压的有效值为

根据式（2-7），则电流的有效值为

又因白炽灯可视为纯电阻，电压与电流同相，所以电流的瞬时表达式为

（2）由式（2-9）可直接求得白炽灯的有功功率为

2.3 纯电感电路

一、电流与电压的关系

当一个线圈的电阻小到可以忽略不计时，可认为是一个纯电感线圈，把它接在交流电源上就构成纯电感交流电路，如图2-10所示。

当交流电流通过电感线圈时，在电感线圈中会产生自感电动势eL，根据基尔霍夫第二定律，外加电压u和自感电动势eL满足

式中 L——线圈的自感系数，又称电感，电感的国际制单位为亨（H）。

设通过电感线圈的电流初相为零，即

i=Imsinωt

则

可见，在纯电感电路中，电流和电压的频率相同；电压和电流的相位差为，电压总是超前电流，其波形和相量如图2-11所示。

式（2-12）是纯电感电路的欧姆定律表达式。

由式（2-11）可以看出

式中 XL——电感的电抗，简称感抗，它和电阻R相似，表示电感对交流电的阻碍作用，感抗的国际制单位也是欧姆（Ω）。

感抗为

显然，电感越大或电源频率越高时，电感线圈对电流的阻碍作用越大。因此，电感线圈可用来限制高频电流流过，称为高频扼流圈。对于直流电路，因f=0，则感抗XL=0，电感线圈在直流稳态电路中可视为短路。因此，电感在电路中具有通直流阻交流或通低频、阻高频的特性。

二、功率

纯电感电路中的瞬时功率为

由图2-11所示瞬时功率的曲线可见，瞬时功率在一个周期内的平均功率为零，即纯电感电路的有功功率为零，即

P=0

这表明纯电感在交流电路中不消耗电能，但电感与电源间却进行着能量交换，是一种储能元件。当p＞0时，电感从电源吸收电能并以磁能形式储存于线圈中；当p＜0时，电感把储存的磁场能转换为电能送回电源。这种能量交换的规模用无功功率Q来衡量。定义储能元件的无功功率等于其瞬时功率的最大值，即

为了与有功功率区别，无功功率的国际制单位用乏尔（var），简称乏。

由于纯电感线圈在电路中不消耗有功功率，因此，交流电路中的限流元件一般选用电感，既可利用电感起限流作用又可以避免能量损耗。如日光灯、电焊机、交流电动机、启动器等，均采用电感限流。

例2-10 将一只电感L=127mH的线圈（电阻可以忽略）接在u=220 2 sin(314t+30°) V的电源上。试求：（1）写出流过线圈电流的瞬时表达式；（2）求电路的无功功率；（3）若电源的频率变为5000Hz，其感抗为多大？

解（1）由已知条件先求出电感线圈的感抗为

XL=ωL=314 × 127 × 10-3=40Ω

由纯电感电路的欧姆定律表达式，可得

因为在纯电感电路中，电压超前电流90°，电压的初相为30°，则电流的初相位为

φi=φu-90°=30°-90°= -60°

所以瞬时电流表达式为

（2）电感线圈的无功功率为

Q=UI=220 × 5.5=1210 var

（3）电感线圈的感抗为

XL=2πfL=2 × 3.14 × 5000 × 127 × 10-3=4000Ω

由上例可见，同一电感线圈对不同的频率呈现不同的感抗，电感线圈的滤波作用正是利用了它的这一特性。

2.4 纯电容电路

一、电容器及其充放电

两个导体中间用绝缘体隔开，就构成了电容器，这两个导体称为电容器的极板。

如图2-12所示，电容器的两个极板经电阻接在直流电源的正负极上。在电源电压U的作用下，就会有电荷向电容器的极板移动，形成暂时的电流，由于电容器极板间是绝缘的，电荷不能通过，因此，电荷会聚积在电容器的极板上，与电源正极连接的极板上聚积正电荷，与电源负极连接的极板上聚积等量的负电荷，负电荷运动反方向是电流的实际方向，于是好像有电流按图2-12 所示的充电方向通过了电容内部。电荷聚积的过程称为电容器的充电过程。随着充电的进行，电容器两极板上的电荷量将不断增加，极板间所形成的电场的电压将不断升高。当uC=U时，电流减小到零，于是电容器的充电过程结束。从能量的角度来看，充电过程是电源的电能转化为电容器内部的电场能的过程。充电结束后，将电源短接，电容器两极板上的电荷就会经电阻不断释放，这个过程称为电容器的放电过程。放电过程结束，电容器两端的电压降为零。从能量的角度来看，放电过程是电容器内部的电场能转化为其他形式能（这里转化为电阻的热能）过程。

实验测量发现，电容器每个极板上储存的电荷量q与加在电容器两端的电压U成正比，即

式中 比例常数C——电容器的电容，是电容元件的参数。

电容的国际制单位是法拉（F），实际中多采用微法（μF）或皮法（pF）作为单位，即

1F=106 μF=1012 pF

电容器在使用时，除选择合适的电容大小外，还应考虑电容器的额定工作电压，习惯称耐压。耐压，就是电容器长期工作时，所能承受的最大电压，通常耐压值标注在电容器上。为避免电容器使用时被击穿，电容器两端所加的电压不应大于耐压值。

二、电流与电压的关系

将电容器接入交流电源，如图2-13 所示。由于电压是交变的，则电容器的充放电交替进行，极板上的电荷量q随交变电压成比例地变化，即q=Cu。电荷量变化，则电路中的电流i满足

设加在电容器两端的电压为

u=Umsinωt

则

可见，在纯电容电路中，电流与电压的频率相同，电流总是超前电压相角，其波形和相量如图2-14所示。

式（2-19）是纯电容电路的欧姆定律表达式。

在式（2-18）中，可得

式中 XC——容抗，容抗的国际制单位是欧姆（Ω），表示电容器对交流电的阻碍作用。

容抗为

显然，在电源电压和电容一定时，电源频率越高，容抗越小，电路中的电流越大，所以，电容器对高频电流的阻碍作用小；电源频率越低，电容器对电流的阻碍作用越大。对直流来说，f=0，则XC= ∞，电容在直流稳态电路中可视为开路，电容器有“隔直”作用。和电感一样，电容器也可作为滤波元件。

三、功率

因为纯电容电路中的电流和电压也有90°的相位差，所以其功率波形与纯电感电路相似，如图2-14所示。电容器充电时，从电源吸收能量；电容器放电时，将能量返回电源，一个周期的平均功率P为零，即

P=0

和电感一样，电容器是储能元件，也类似定义电容的无功功率，即

例2-11 将C=50μF的电容器接到的工频电源上，求通过电容器的电流有效值和电路的无功功率。若电源的频率变为500Hz时，通过电容器的电流为多少？

解 工频交流电的频率为50Hz，电容器的容抗为

当f=500Hz时为

2.5 电阻与电感串联电路

纯电感线圈只是一个理想元件，实际上并不存在。实际的线圈既有电感又有电阻，把它接在交流电源上可等效为电阻元件R和电感元件L串联的电路，这种电路在实际应用中是很多的，如交流电动机、变压器、日光灯等电路均属此类。

一、电流和电压的关系

在图2-15 的RL串联电路中，设瞬时电流为i=Imsinωt作为参考正弦量。因为串联电路中的电流相等，流经R和L的是同一电流，电阻上的电压 uR与电流i同相，UR=IR；电感上的电压uL比电流i超前90°，UL=IXL。串联电路的总电压等于各元件上电压之和，即总电压为u=uR+uL，采用相量图法求出总电压u。

参考正弦量所对应的相量称为参考相量。以电流为参考相量，与同相，比超前；与的合成相量，即为所求总电压的相量，如图2-15（b）所示。各电压的相量关系为

实际上，式（2-22）正是本问题的基尔霍夫电压定律相量表达式。

则总电压的有效值为

式中 串联电路的阻抗，阻抗的国际制单位也是欧姆（Ω）。

正弦交流电路中，总电压u超前总电流i的角度称为该电路的阻抗角，可得

二、功率

正弦交流电路中总电流和总电压的乘积定义为视在功率，以S表示，即

为区别于有功功率和无功功率，视在功率的国际制单位为伏安（VA），比较常用的单位还有千伏安（k VA）。电源设备上的额定容量，指的就是额定视在功率。

在交流电路中，电阻是耗能元件，电阻消耗的功率就是该电路的有功功率，即

电感与电源间进行能量交换，所以电路的无功功率为

S、P和Q三者之间满足如下关系，即

S是电源提供的总功率，其中，只有部分P为负载吸收，这就存在电源功率的利用率问题。为了反映这种利用率，我们把有功功率和视在功率的比值定义为功率因数。由式（2-26）可得功率因数为

电路的阻抗角φ又称功率因数角。式（2-29）表明，当电源容量（即视在功率）一定时，功率因数大，电路中用电设备的有功功率就大，电源输出功率的利用率就高，这是所希望的。

例2-12 将电感为25.5mH、电阻为6Ω的线圈接到U=220V的工频电源上，求线圈的阻抗、电路中的电流及P、Q、S和cosφ。

解

例2-13 实际的电感线圈可通过测量电压和电流的方法求取其电阻和电感。给线圈加上U=36 V直流电压时，测得流过线圈的直流电流I=0.6A；给线圈加上工频220V电压，测得流过线圈电流的有效值I=2.2A，求该线圈的电阻R和电感L。

解 加直流电压时，得

加上工频电后，线圈的阻抗|Z|为

故线圈感抗XL为

线圈电感为

※2.6 电阻电感电容（RLC）串联电路

电阻电感与电容串联电路，如图2-16（a）所示。

一、电压与电流的关系

设RLC串联电路中的电流为i=I m sin ωt，由于电阻上的电压uR与电流i同相、电感上的电压uL超前电流i角度为90°、电容上的uC滞后电流i角度为90o，故

它们的相量图如图2-16（b）所示。

由图2-16可知

可求得

式中 ——电路的阻抗；

XL-XC——电抗，电抗的国际制单位是欧姆（Ω）。

总电压与电流的相位差，即阻抗角为

当XL＞XC时，φ＞0，电路呈感性，电路中总电压超前电流φ角；当XL＜XC 时，φ＜0，电路呈容性，电路中总电压滞后电流φ角；当XL=XC时，φ= 0，电路呈阻性，电路中总电压和电流同相。

二、功率

由于L、C为储能元件，各自的有功功率为零。故RLC串联电路中的有功功率，实际上就是电阻消耗的功率，即

无功功率包括电感的无功功率和电容的无功功率。虽然电感和电容都和电源进行能量交换，但是交换的时刻不同，从式（2-30）及式（2-31）可以看出，U L和U C是反相的，而电流同相，所以，它们各自的瞬时功率变化也是相反的，即当电感吸收能量时，电容恰好释放能量；而当电感释放能量时，电容恰好吸收能量，即在交流电路中，电感的无功功率和电容的无功功率总是相互削弱，因此，可得

于是，视在功率为

功率因数为

例2-14 电阻R=22Ω，电感L=0.6H的线圈和C=63.7μF的电容串联后接到U=220V、f=50Hz的交流电源上，求电路中的电流、有功功率、无功功率、视在功率和功率因数。

解

三、串联谐振

如图2-16所示，在RLC串联电路中，当XL= XC，φ= 0时，总电压和电流同相位，电路呈现纯阻性，电路的这种状态称为串联谐振。谐振时电路的功率因数为1，无功功率为0。谐振时的角频率用ω0表示，则

则谐振角频率和谐振频率分别为

由此可见，电路是否发生谐振，完全取决于电路的参数L、C与频率间的关系。谐振时，|Z|=R，其值最小，所以电路中的电流最大，电流为

由于谐振时感抗和容抗相等，UL和UC大小相等方向相反，则

从相量图可知，如图2-16所示，相量求和的结果为

就是说，总电压等于电阻上的电压。UL或UC与U 之比称为谐振电路的品质因数 Q，即

Q的大小是衡量谐振电路特性的一个很重要的参数，它表示在L或C上的电压和外加电压的倍数，通常Q值可达几十甚至几百。

串联谐振会出现高电压，可能会击穿线圈和电容器，破坏系统的绝缘。因此，在电力系统一般要避免电压谐振的发生。但是在无线电工程中，串联谐振能够用来选择信号，可以从多个不同频率的信号中选出所要求得到的某个特定频率的信号，如收音机就是利用串联谐振电路（又称调谐电路）来选择所要收听的某个电台。品质因数越高，选择效果越好。

例2-15 RLC串联电路的R=10Ω，L=0.3mH，C=100pF，接到U=10V的交流电源上。试求，其发生串联谐振时的谐振频率f0、品质因数Q、电感电压UL、电容电压UC及电阻电压UR。

解 谐振频率为

品质因数Q为

电感电压UL为

U L =QU =173 × 10=1730V

电感电压UC为

U C=QU=173 × 10=1730V

电感电压UR为

U R =U =10V

2.7 感性负载与电容器并联及功率因数的提高

实际大多数负载都属于电感性负载，既含有R又含有L。这类负载与电容器并联，组成如图2-17（a）所示的电路，在实际应用中很有意义。

一、电流与电压的关系及功率

设电源电压u的初相为零，通过RL支路的电流为i1，相应的有效值为

i 1滞后u的角度φ1，则

通过电容支路的电流为iC，则

iC比u超前了，它们的相量如图2-17（b）所示。I1和IC的合成相量I，即为所求总电流的相量，可得

由相量图可得

由相量图可看出：

当I1sinφ1＞IC时，电流i滞后电压u，电路呈感性；当I1sinφ1＜IC时，i超前u，电路呈容性；当I1sinφ1=IC时，i与u同相，电路呈阻性。

R、L与C并联电路的有功功率P和无功功率Q分别为

P=UI cosφ

Q=UI sinφ

二、功率因数的提高

从相量图中可以看出，在电感性负载的两端并联电容器后，使总电流与电压间的相位差φ小于感性负载上电流与电压的相位差φ1，这样就提高了电路的功率因数。

功率因数是电路运行状况的重要指标之一，如负载为纯电阻，功率因数c o sφ=1，说明电源提供的功率全部转换成有功功率P；在供电线路中，电感性负载越多，如电动机、电磁铁等，这意味着电源向电路提供的视在功率中有功成分减少，而与电感间进行能量交换无功的成分增大，功率因数不再为1。这部分能量往返传递，占用了线路的容量而又未取得电源向负载输送能量的效果。可见，提高功率因数是非常有实际意义的。

（1）提高功率因数可以使电源设备的容量得到充分利用。设电源的容量为S=UI，负载取用的有功功率P=UI cosφ。可见，电路的功率因数越高，电路获得的有功功率越大，电源供电能力的利用率就越高；反之，功率因数越低，P越小，电源供电能力利用得越差。

（2）提高功率因数可减小输电线路上的功率损失并节省输电线材料。由P=UIcosφ可以看出，当P和U一定时，功率因数越高，则线路中的电流越小，输电线路上的功率损失也随之减小，输电导线的截面积可以减小，从而节约了电能并节省了导线材料。

通过与感性负载并联适当容量的电容器来提高功率因数，一般提高到0.9左右就可以了，因为要补偿到功率因数接近1时，所需的电容量太大，反而不经济。

设要求的cosφ为已知，由相量图可知并联电容器支路的电流为

IC=I1 sinφ1-I sinφ

负载的功率P=UI1cosφ1=UIcosφ，所以

又因，故应并联的电容为

例2-16 有一感性负载，接在220V、50Hz的交流电源上，其取用功率P=3.3kW，功率因数cosφ1=0.75。若与此负载并联一个C=100μF的电容，求电路的总功率因数cosφ；若要把功率因数提高到0.95，问并联电容器的电容应是多少？

解 负载电流为

电容支路的电流为

总电流为

电路的功率因数为

若将功率因数提高到cosφ=0.95，则并联的电容为

自 我 测 试

1.填空题

（1）交流电是指大小和方向都________的电动势、电压或电流。（2）正弦交流电的三要素是________、________和________。（3）正弦交流电的三种表示法是________、________和________。

（4）若交流电流，则它的角频率为，最大值为，初相角为。

（5）若已知i1=20 sin(ωt+60°)A，i2=10 sin(ωt-30°)A，则i=i1+i2 的有效值为________，i1与 i2的相位差为________。

（6）在图2-18所示相量图中，已知I1m =10A，I2m =16A，I3m =12A，周期均为0.02s，那么，三个电流的解析式分别为________、________和________。

（7）正弦电压加于纯电阻电路时，电路中电压和电流的________相同，电压和电流有效值关系为________。

（8）一个纯电感线圈接在直流电源上，其感抗________，电路相当于________状态。

（9）接上20V直流电源时，测得通过线圈的直流电流为0.4A；当接上65V、50Hz交流电源时，测得通过线圈的电流为0.5A，则该线圈的电阻为________，电感为________。

（10）在RLC串联电路中，已知R=6Ω，X L =10Ω，X C =4Ω，则电路的性质为________，总电压比总电流相位________。

2.判断题（对的打“√”，错的打“×”）

（1）电工测量所用电压表和电流表的读数均表示有效值。（）

（2）电气设备铭牌上所标出的电压、电流数值均指最大值。（）

（3）用解析式、波形图和旋转相量法求交流电的和或差的前提是被计算交流电必须是同频率的交流电。（）

（4）商店中销售的220V灯泡，通常都是接在220V交流电源上使用的，但是如果把它接在220V直流电源上也能正常使用，且发光效果相同。（）

（5）已知某元件两端的电压u=50sin(ωt+45°)V，流过的电流i=30sin(ωt-45°)A，则该元件是电感元件。（）

（6）电压三角形、阻抗三角形和功率三角形都是相量三角形。（）

（7）感性负载并联电容器后虽然能提高电路的功率因数，但电源输出的功率变大了，增加了电源的负担。（）

（8）在纯电感电路中，电压超前电流，所以，电路中先有电压后有电流。（）

（9）电容元件在直流电路相当于开路，因为此时容抗为无穷大。（）

（10）测得日光灯灯管两端的电压为114V，镇流器两端的电压为180V，两电压和大于220V，说明测量数据错误。（）

3.选择题（每题只有一个答案是正确的，将正确的选项填在括号内）

（1）有一正弦交流电压在0.1s内变化5周，那么它的角频率为（）。

A.30π rad/s

B.200rad/s

C.314 rad/s

D.314π rad/s

（2）我国工农业生产及日常生活中使用的工频交流电的周期和频率为（）。

A.0.02s、50Hz

B.0.02s、60Hz

C.0.2s、50Hz

D.5s、0.02Hz

（3）图2-19所示为两纯电感线圈串联线路，则下列答案中正确的是（）。

A.总电感为15H

B.总感抗XL为15Ω

C.XL=XL12+XL22

D.流过的交流电频率越高，总感抗越小

（4）在纯电阻电路中，下列关系式正确的为（）。

A.i=U/R

B.I=U/R

C.i=Um/R

D.I=Um/R

（5）在纯电感电路中，下列关系式正确的是（）。

A.i=U/ωL

B.I=U/ωL

C.I=Um/ωL

D.i=u/XL

（6）在纯电容电路中，下列各式正确的是（）。

A.i=u/XC

B.I=UωC

C.I=U/ωC

D.I m=Um/ωC

（7）日光灯所消耗的功率P=UIcosφ，并联电容器后，日光灯消耗的功率将（）。

A.增大

B.减小

C.不变

D.不定

（8）交流电路中提高功率因数的目的是（）。

A.提高电动机效率

B.减小电路功率损耗，减小电源的利用率

C.增加用电器的输出功率

D.减小无功功率，提高电源的利用率

（9）在RLC串联交流电路中，当电流与总电压同相时，下列关系式正确的是（）。

A.ωL2 C=1

B.ω2 L C=1

C.ωL C=1

D.ω=LC

（10）纯电感电路中，已知电流的初相角为-60°，则电压的初相角为（）。

A.90°

B.120°

C.60°

4.计算题

D.30°

（1）一只白炽灯泡接在的交流电源上，灯泡炽热时电阻为484Ω，求流过灯泡电流的解析式及灯泡消耗的功率。

（2）一个纯电感线圈L= 41mH，接成如图2-20所示电路，已知电压，求电压表及电流表的读数，并求有功功率和无功功率。

（3）一个C=0.05μF的电容器接在f=120kHz、i=4sinωt mA的交流电源上。求电容器两端的电压有效值及电压解析式。

（4）一个UN=220V，PN=1000W的电炉接在220V、50Hz的交流电源上，求：（1）电炉的电流及功率；（2）若电源电压降为110V，求电炉的电流和功率（设电炉的电阻不变）。

（5）为了测定一个空心线圈的参数，在线圈两端加以正弦电压，今测得电压 U=110V，电流I=0.5A，功率P=40W，电压的频率f=50Hz。试根据测得的数据算出线圈的电感和电阻。

（6）现将C=8μF的电容器分别接在：（1）直流电源上；（2）f =50Hz的交流电源上。若直流电压和交流电压有效值均为U=220V，试求电容器接在不同电源上时的电流各是多少？

（7）一个线圈接到100V直流电源上，消耗的功率为2.5kW，该线圈接到100V、50Hz的交流电源上时，消耗的功率为1.6kW，求线圈的电感L和电阻R。

（8）已知日光灯电路的灯管电阻R1=300Ω，镇流器的电阻R2=40Ω，电感L=1.3H，电源电压U=220V，f=50Hz，求：（1）流过灯管的电流I；（2）灯管两端的电压U R，镇流器的电压UL；（3）电路的有功功率P。

（9）某电感线圈L=48mH、R=20Ω，将它接于的交流电源上，求：（1）线圈的感抗与阻抗；（2）电路中电流有效值；（3）线圈的有功功率、无功功率与视在功率；（4）功率因数。

（10）一个40W日光灯，额定电压UN=220V，cosφ=0.44。为提高功率因数，并联的电容C=4.75μF。求并联电容前后电路的总电流和电路的功率因数电源频率为50Hz。