3.3 模型均衡结果及性质

3.3.1 教育市场的均衡价格

命题1：在家庭效用最大化条件下，问题（3.6）的最优解可以表示为如下形式。

满足家庭效用最大化条件：

同时，对于学校来说，当αi（b, y）∈（0,1）时，

式中，ηi =αi（b, y）f（b, y）]dbdy；特别地，当αi（b, y）=0时，（b, y, θi）＜（＞）V′（ki）+ηi（θi-b）∀（b, y）。

令学校的有效边际成本为MC i（b）≡V′（k i）+ηi（θi-b），对于∀αi（b, y）∈（0,1），最优的均衡价格为=MCi（b）。

证明：

首先由式（3.11）：

U[yt-, a（θi, b）]=U*（b, y）∀（b, y）

解得=（θi, y, b），将其代入式（3.6）可得

s.t.

构造拉格朗日方程可得

由一阶条件可得

将式（3.13）代入式（3.14），即得

证毕。

命题1中式（3.12）是学校最优的学费定价方程，也即在UM条件下式（3.8）取等式的结果；由式（3.11）得到的是类型为（b, y）的家庭愿意支付质量为θi的学校教育的保留价格。式（3.12）给出学校i的最优准入政策ai（b, y）。其中ηi（θi-b）可以看做类型（b, y）的家庭为获得质量θi的学校教育，为学校教育的同群效应所支付的边际成本。具体来说，当学生的能力b低于学校教育的质量θi（或者说学校学生的平均能力）时，为同群效应支付的边际成本就为正的；这是因为该学生的入学将会导致学校整体质量的下降，他必须为学校质量的下降支付成本。因此，可以认为学校的学费包括两部分：一部分为保持学校运营所需要的边际成本，另一部分为学校教育的同群效应所支付的边际成本。由于学校教育的定价考虑了学校教育由于同群效应而特有的外溢效应，因此当学校在=MCi（b）处定价时，整个教育市场的均衡就是最优的。