2.6.3　微分的运算

从函数的微分的表达式

dy=f'（x0）dx

可以看出，要计算函数的微分，只要计算函数的导数，再乘以自变量的微分即可.

1.基本初等函数的微分公式

（1）d（C）=0；　　（2）d（xα）=αxα-1dx；

（3）d（sinx）=cosxdx；　　（4）d（cosx）=-sinxdx；

（5）d（tanx）=sec2xdx；　　（6）d（cotx）=-csc2xdx；

（7）d（secx）=secxtanxdx；　　（8）d（cscx）=-cscxcotxdx；

（9）d（ax）=axlnadx；　　（10）d（ex）=exdx；

例2　设y=ln（1+2x），求x=1处的微分dy|x=1.

解　因为，，所以

例3　设y=cos（1-3x），求dy.

解　因为y'=-sin（1-3x）·（1-3x）'=3sin（1-3x），所以

dy=y'dx=3sin（1-3x）dx.

2.微分的四则运算

设函数u（x），v（x）（简记为u，v）均为可微函数，则

d（u±v）=du±dv；d（uv）=udv+vdu；

特别地，当u=c时，d（cv）=cdv；当u=1时.

3.复合函数微分法

设y=f（u），u=φ（x）的复合函数为y=f（φ（x）），如果u=φ（x）可微，且相应点处y=f（u）可微，显然有

dy=[f（φ（x））]'xdx=f'（u）φ'（x）dx，

由于φ'（x）dx=du，所以得到公式

dy=f'（u）du.

发现：与一般函数y=f（x）的微分dy=f'（x）dx相比，无论u是中间变量还是自变量，其微分形式一样，微分的这一性质称为一阶微分形式的不变性.

例4　求下列函数的微分dy.

（1）y=3ex-tanx；　　（2）；

（3）y=e-3xcos2x；　　（4.

解　（1）dy=d（3ex-tanx）=d（3ex）-d（tanx）=（3ex-sec2x）dx；

（3）dy=d[e-3xcos2x]=e-3xd（cos2x）+cos2xd（e-3x）

=（-sin2x）e-3xd（2x）+cos2x·e-3xd（-3x）

=（-sin2x）e-3x2dx+cos2x·e-3x（-3）dx

=-e-3x（2sin2x+3cos2x）dx.