2.1　运动学原理

运动学研究物体在空间的位置随时间变化的规律，主要研究的内容是物体的运动速度、位移、加速度之间的内在联系等，其中，速度、位移和加速度均为矢量，不仅有大小，还需研究其方向。

2.1.1　基本概念

1. 位移s

位移用于描述质点的位置变动，用质点由初位置到末位置的有向线段来表示。位移为一矢量，其大小与路径无关，方向由起点指向终点。

2. 速度v

速度用来衡量运动的快慢。假设行驶的位移为s，所用的时间为t，那么其平均速度为

平均速度［单位为米/秒（m/s）或千米/小时（km/h）］只能反映位移s范围内运动的平均快慢，为了反映某时刻t运动的快慢，需要定义t时刻的速度为

式中，dt为时间t的微小增量（数学上称为微分）；ds为与dt相应位移的微小增量；整个又称位移s对时间t的一阶导数。

3. 加速度a

加速度用来衡量物体运动速度变化的快慢。假设在t时间内，速度由零变化到v，那么其平均加速度为

平均加速度只表示整个t时间内速度变化的平均快慢。也可以定义某时刻t的瞬时加速度为

式中，dt为时间t的微小增量；dv为速度v的微小增量；为速度v对时间t的一阶导数。

4. 动量P

动量是物体的质量和速度的乘积，是与物体的质量和速度相关的物理量，用于描述运动物体的作用效果。物体动量为矢量，其方向与速度的方向相同。

5. 冲量I

冲量是指力的作用对时间的积累效果，冲量等于力和作用时间的乘积。冲量的方向与作用力的方向相同。

当作用力F是变量时，则冲量为

式中，dt是一段无限小的时间。

冲量在作用过程中会导致物体运动的速度发生改变。物理学已经证明，物体所受到的冲量等于其动量的变化量，此即动量定理。

2.1.2　矢量合成定理

当物体做直线运动时，物体的速度、位移和加速度用正号表示向前，负号表示向后，公式中的矢量可以视为标量进行计算，均不会存在什么问题。但是，当物体运动的轨迹不是直线时，我们就必须借助矢量运算法则来进行计算。

物理学上将既有大小又有方向的量称为矢量。矢量加减计算遵循平行四边形法则或三角形法则。在二维平面条件下，速度必须用矢量表示，才能进行合成和分解。例如，甲某横渡珠江（图2.1），设珠江水面宽度为sr=400m，水流的速度为ve=1.5m/s，甲某从珠江岸边A点出发垂直水流方向，游泳的速度为vr=2.0m/s，那么，甲某到达对岸的地点不是B点，而是下游的C点，B和C之间的距离se=300m。这是因为它相对河岸的运动速度va是由水流速度ve与相对速度vr用矢量合成的，其方向为AC方向，而不是AB方向。

现在以速度为例，说明矢量的合成法则。它可用带箭头的线段表示：线段的长度表示大小，箭头表示方向。两矢量的加减法需要按平行四边形（或三角形）法则进行，而不是简单地将两个矢量的大小相加减。

矢量v1、v2的和为

如图2.2所示，它可以表示为以v1、v2为边的平行四边形的对角线。根据余弦定理，合矢量R的大小为

合矢量R的方向可用β角表示，根据正弦定理得

可见，只要知道两个分矢量v1、v2的大小（v1、v2）和方向（α角），就能画出平行四边形［图2.2（a）］或三角形［图2.2（b）、图2.2（c）］，根据式（2-9）和式（2-10）求出合矢量R的大小（R）和方向（β角）。

2.1.3　质点直线运动

质点是为分析研究问题的方便将物体抽象化的结果，是在不考虑物体的外形与尺寸的情况下，将物体简化成质量集中于质心的分析方法。质点的运动过程可分为直线运动和曲线运动。曲线运动还可以分为圆周运动、抛物线运动及高次曲线运动。更为复杂的运动是多种运动的合成。在一定条件下分析汽车运动时，也经常按这样处理。

质点在匀速运动中，加速度a、速度v、经过时间t和位移s之间的内在联系，可以用以下基本公式来表示。

利用上述公式，根据不同的初始条件，可以推导出质点做直线运动时的计算公式，如表2-1所示。

注：表中公式中的正、负号代表位移、速度、加速度的方向。

对于直线运动，用正、负号就可以完全描述出质点的运动方向；若是曲线运动，则必须用矢量来表示速度的大小和方向。

2.1.4　质点圆周运动

质点沿半径为r的圆弧做匀速圆周运动时，速度的方向时刻在发生改变，即速度是改变的，因此，必然存在加速度。质点做圆周运动时一定存在向心力，即外力作用于物体质点上的合力指向做圆周运动的中心。

式中，F为物体做圆周运动的向心力；m为物体的质量；r为物体运动的弯道半径；v为物体做圆周运动的速度。

2.1.5　质点抛物线运动

在交通事故分析中，常常遇到做抛物线运动的物体。例如，车辆碰撞时，撞碎的门、窗、灯罩等玻璃碎片及其他装载物、散落物在车辆发生碰撞后被抛出，落地前的运动均属抛物线运动；甚至整个汽车由于某种原因，冲出道路掉进山沟、驶出桥面等运动，均视为抛物线运动。分析此类事故形态，计算车辆行驶速度时，通常把装载物、玻璃碎片及肇事汽车简化成一个质点，当忽略空气阻力等因素时，可以把该问题简化成质点的抛物线运动，如图2.3所示。

质点在水平方向投影的速度和垂直方向投影的速度分别为

质点由A点抛落到抛物线上B点时所花费的时间为

式中，v为质点被抛出的速度；θ为质点抛出时速度方向与水平方向的夹角；g为重力加速度。

当θ=0时，质点的运动为平抛运动。平抛运动可以分解成两个运动：一个是水平直线运动；另一个是垂直方向上的匀加速运动。

如图2.4所示，假设某物体M从A点沿水平线方向，以初速度v0向前抛出落到前方地面上B点，下落高度为h，其运动轨迹AMB就是一条抛物线，物体从A点落到B点的水平距离d与初速度v0及高度h的关系如下。

或

2.1.6　刚体的定轴转动

定轴转动简称转动，是指物体上有一根轴线固定不动，其他部分围绕轴线转动。为了描述物体的转动，垂直于转轴取一个截面，如图2.5所示，此截面代表转动的物体，该截面与转轴的交点O代表固定的转轴。然后在截面上取一条直线OM，由它代表截面的运动。假设开始时直线OM位于x轴位置，经过t时间转过θ角到达图2.5所示位置，转过的θ角称为角位移，用角位移除以所花的时间t表示转动的平均快慢，称为平均角速度，即

若将时间取为微小增量dt，转过角度也是微小增量dθ，则此时的比值就是瞬时角速度ω，即

数学上称角速度ω是角位移θ（或角坐标）对时间t的一阶导数。

如果刚体不是做匀速转动，即在转动过程中角速度ω有变化，将角速度ω对时间t取一阶导数，称为角加速度ε。它描述刚体角速度变化的快慢，即

对比平动和转动中的物理量，不难发现，角加速度ε与加速度α对应，角速度ω与速度v对应，角位移θ与位移s对应。那么匀变速运动的三个基本公式对匀变速转动同样适用，即有

2.1.7　刚体的平面运动

任何物体的平面运动都可分解为两种较简单、较基本的运动——平动和转动。其中，平动是指该物体在运动过程中始终保持其方位不变，其上各点的轨迹、速度、加速度都一样，只要选择质心为代表，物体的平动即可抽象为质点的运动。

汽车在道路上行驶时，汽车存在向前移动的速度，轮胎也以同样的速度向前移动，但是汽车实际前进的速度是轮胎向前滚动的结果，那么轮胎的转速必然与汽车的移动速度有关。下面分析轮胎的运动过程。

轮胎的运动过程是由两个运动状态合成的：一个是轮胎向前的平动；另一个是轮胎的转动。如图2.6所示，轮胎上任何一点相对于地面的速度都是由轮胎的平移速度与该点的线速度的矢量合成的。

1. 平面运动速度分析的合成法

如图2.6所示，轮胎的平面运动分解为随轮心O的牵连平动和绕轮心O的相对转动两部分，那么轮胎上任一点A的速度vA也就由牵连平动速度vO与绕轮心O相对转动速度vAO两部分加起来，即

这一矢量公式建立了平面运动物体上任意两点A与O速度之间的关系。等式左边vA为合速度，等式右边两项为分速度，其中vO为任一基点O的牵连速度，vAO为A点绕O点的相对转动速度，有。

其方向垂直连线，即沿圆周切向，指向ω转向一方。根据矢量合成平行四边形或三角形法则，即过A点画牵连速度vO的平行线及相对转动速度vAO，并以这两个分矢量为边作平行四边形，其对角线就是合矢量vA。

2. 平面运动速度分析的瞬心法

应用合成法［式（2-23）］计算平面运动物体上任意一点的速度时，利用余弦定理计算求解，不甚方便，需要用矢量合成。实际上物体在做平面运动时，可以视为物体在某一时刻，绕某已确定点P做圆周运动，该确定点P即物体运动的速度瞬心，其速度为0。

vP=0

于是有

这时，任意一点A的速度直接等于它绕P点相对转动的速度，没有矢量合成问题。现在仍以轮胎为例，如图2.7所示，假定轮胎在路面上只滚动不滑动，那么轮胎着地点P的速度一定等于零，它就是图示瞬时的速度瞬心P，此瞬时车轮上各点速度都只有绕P点相对转动的速度，该时刻轮胎上任意一点A的运动均视为绕P点的转动，A点的速度为

vA=vAP

其大小，方向垂直AP连线，指向转动一方。又如，B点的速度为

vB=vBP

其大小，方向垂直BP连线，指向转动一方。再如，轮心O的速度为

vO=vOP

其大小为

反过来，已知轮心的速度vO，可求出轮胎转动的角速度为

可见，知道了任一瞬时速度等于零的P点，那么，该瞬时平面运动物体上各点的速度直接等于它们绕P点转动的相对速度，各点的速度分布以P点为中心，按线性分布，距离P点越远，速度越大，故称P点为速度瞬心。速度的这种分布与定轴转动速度分布一样，因此速度瞬心又称瞬时转动中心。轮胎在滚动过程中不同时刻着地点位置不同，轮胎速度瞬心的位置也是不断变化的，这是因为速度等于零的P点各个瞬时是不同的。例如，如图2.7所示，在轮胎只滚动而不滑动的条件下，该瞬时着地点P速度为0，P是该瞬时的速度瞬心。但到下一瞬时，着地点变为P1点，P1点是下一瞬时的速度瞬心，可见每一瞬时都有各自的速度瞬心，而整个平面运动的运动过程，就是连续地绕每一瞬时的速度瞬心做转动的结果。

3. 轮胎角加速度与轮心加速度的关系

如图2.8所示，轮胎在固定路面上只滚动而不滑动时，轮胎着地点P为速度瞬心，轮胎角速度与轮心速度的关系为

两边对时间求导数得到