第2章　自动控制系统的数学模型

1．试求图2-1所示系统的传递函数。[西北工业大学研]

图2-1

解：由图2-1可知

化简可得

2．已知系统的结构图如图所示。

（1）求输入R（S）和扰动N（s）同时作用下的系统输出C（s）；

（2）若使系统输出完全不受扰动的影响，求应满足的关系。[南京航空航天大学2009研]

图2-2

解：（1）由图知，系统有四个回路，回路增益分别为：

回路互不接触，增益乘积为：

故系统特征式为：

输入R（s）作用下，前向通路和余子式为：

扰动N（S）作用下，前向通路和余子式为：

则输入R（s）和扰动N（s）同时作用下的系统输出Y（s）为：

（2）由扰动N（s）作用下的传递函数表达式知，令其分子为零，则系统输出不受扰动影响，故有：

3．在图2-3中，以电压u_i（t）为输入量。

（1）以电压u₂（t）为输出量，列写微分方程；

（2）以电压u₃（t）为输出量，列写微分方程；

（3）设R₁＝R₂＝0.1MΩ，C₁＝10uF，C₂＝2.5pF，将（1）的结果写成数字形式。[清华大学研]

图2-3

解：（1）设通过电阻R₂的电流为i，则有

又根据电压方程

可得

得

（2）由，得

代入整理得

4．设某伺服电动机的传递函数为，其中为角速度，为输入电压。假设电动机在控制电压作用下以恒定速度转动，试求电压突然降到零时，电动机的输出响应[南京航空航天大学2006研]

解：由终值定理，在电压作用下电机输出恒定转速为

当电压突然降为零时，可以认为此时有一个幅值为的阶跃信号与叠加的结果，所以电动机的输出为：

对上式取拉普拉斯反变换，可得：

5．某系统的方块图如图2-4（a）所示。

（1）确定系统的传递函数Y（s）/R（s）。

（2）如果图2-4（b）所示的方块图来描述图2-4（a）的系统，试确定当时，图2-4（b）中的传递函数[西安交通大学2006研]

图2-4（a）

图2-4（b）

解：（1）由图（a）知，该系统由四个回路组成，回路增益分别为

没有互不接触回路，故特征式为

前向通路及余子式为

故传递函数

（1）

（2）由图（b）知，系统有一个回路，增益为，则特征式为前向通路及余子式为于是，有系统传递函数

（2）

比较式（1）和（2），根据其对应关系联立方程组，可取：

6．（1）试求左图所示运算放大电路的传递函数

（2）如果系统的信号流图如右图所示，求传递函数和。[上海交通大学2004研]

图2-5

解：（1）由运算放大器原理知，A，B两点的电压相等，设为u，在复域内记为U（s）。则根据电阻和电容的等效复数阻抗，有：

消去中间变量U（s），得：

（2）由图知，系统有四个回路，回路增益分别为：

回路互不接触，增益乘积为：

故系统特征式为：

求传递函数，前向通路和余子式为：

求传递函数，前向通路和余子式为：

求传递函数到前向通路和余子式为：

到前向通路和余子式为：

故所求传递函数分别为：

7．已知系统方框图2-6所示，试求

（1）开环传递函数，并给出系统的型别和开环增益；

（2）特征方程；

（3）扰动输入下的误差传递函数E（s）／N（s）；

（4）系统总输出响应象函数C（s）。[华北电力大学（保定）2008研]

图2-6

解：（1）开环传递函数为

系统为Ⅰ型，开环增益为2.5。

（4）系统总输入响应象函数为

8．无源电网络如图2-7所示。输入电压为输出电压为

其中：

（1）绘制方框图；

（2）求输出与输入间的传递函数；

（3）求输出与输入间的微分方程。[华北电力大学（保定）2007研]

图2-7

解：

方框图如图2-8所示。

、

图2-8

9．某温度计传递函数为，现用温度计测容器中水温。若温度计和容器中水温均为30℃时，给容器中水加热5min，使水温以每分钟上升12℃均匀上升；试求再经过多长时间温度计的读数温度为86℃（计算取小数点后1位；不考虑水的散热）。[华北电力大学（北京）2007研]

解：在前5min，输入是斜坡函数，其输入为。5min到6min之间考虑系统实际值与给定值有一个误差，其值作为阶跃函数，所以分为两步。

首先是考虑斜坡函数输入为

5min后，系统的输入阶跃函数输入，阶跃函数为