第2章 地质力学模型试验的相似理论
2.1 相似理论基础
在进行模型设计时，模型的几何比尺、模型材料力学参数、荷载强度、模型的应力、应变、位移等各项参数均需满足相似的要求。而这些相似的要求，需要一定的理论基础来描述，即相似理论。本节介绍相似理论涉及的基本概念、量纲分析以及相似理论的三个基本定理。相似理论的三个基本定理奠定了相似理论的基础，而量纲分析是推导相似理论的重要基础。
2.1.1 基本概念
（1）相似理论
相似理论是说明自然界和工程中各相似现象、相似原理的学说，是研究自然现象中个性与共性，或特殊与一般的关系以及内部矛盾与外部条件之间的关系的理论。相似理论主要应用于指导模型试验，确定“模型”与“原型”的相似程度、等级等[1]。
（2）相似比尺
相似比尺为原型和模型之间相同物理量之比，也称为相似常数、相似系数。通常用带下标的C表示。由于物理定律约束，相似常数通常不能任意选取。
（3）相似指标
相似指标指从各物理量共同遵循的物理方程式中得到相似比尺的组合。相似指标说明各个相似比尺之间存在着一定的关系。
（4）相似模数
相似模数指同一体系中各物理量的无量纲组合，或者称为相似准则、相似判据、相似不变量。
（5）量纲
将一个物理导出量用若干个基本量的乘方之积表示出来的表达式，称为该物理量的量纲式，简称量纲（dimension）。
2.1.2 量纲分析
量纲理论是研究物理量量纲间内在联系的理论。对于不同性质的物理量，具有不同的量纲，因此，量纲是物理量种类或性质的反映，常用“[]”表示。
取那些不存在任何联系的性质不同的量纲作为基本量纲，从而可以根据基本量纲导出其他一些量纲，称为导出量纲。量纲表示了物理量的性质，例如：千克（kg）和克（g），都是用来表示质量的，它们作为单位表示不同的尺度，但是作为量纲，则都代表质量，没有区别，都用质量量纲[M]表示。所研究的问题决定了需要选取的基本量纲的个数。在各种量纲系统中，本书涉及的有：
（1）质量、长度、时间（[M]-[L]-[T]）基本量纲系统；
（2）力、长度、时间（[F]-[L]-[T]）基本量纲系统。
在拱坝和地下工程地质力学模型试验中，通常仅限于考虑力学系统，而不涉及物理学的其他部分，因此其中涉及的物理量，全部可从以上两个基本量纲系统导出。
任意物理量的量纲均可由基本量纲的指数幂的乘积来表示，即[2]
或者
式中，α, β, γ为有理数；y表示任意导出物理量；α, β, γ均为0时，则得到无量纲物理量，值由纯数给出，例如泊松比μ，材料的内摩擦角φ等。式（2-1）及式（2-2）表明了导出物理量对基本物理量的依赖关系。
本书中涉及的一些较重要的物理量及其量纲列于表2.1中，分别以质量、长度、时间（[M]-[L]-[T]）为基本量纲与力、长度、时间（[F]-[L]-[T]）为基本量纲表示[2]。
表2.1 本书涉及重要物理量及量纲
2.1.3 相似第一定理
相似的现象，其单值条件相似，其相似准则的数值相同。因此，相似现象具有如下的性质：
（1）相似的现象必然在几何相似的系统中进行，而且在系统中所有各相应点上，表示现象特性的各同类量间的相似比尺相等；
（2）相似现象服从于自然界同一种规律，所以表示现象特性的各个量之间被某种规律所约束着，它们之间存在着一定的关系。如果将这些关系表示为数学的关系式，则在相似的现象中这个关系式是相同的。
性质（1）说明了相似的概念，但它只能说明相似的定义，不能找出相似现象所共同服从的规律；性质（2）说明了可以由描述现象的方程式经过相似转换获得相似准则，并可以得出“相似的现象，其准则的数值相同”的定理[3][4]。
2.1.4 相似第二定理
相似第二定理又称作π定理、白金汉（Buckingham）定理。相似第二定理表述为：对于相似的物理系统，其相似模数方程相同。它指出了模型与原型的关系，任何物理方程均可转换为无量纲量的关系方程，还使变量从多元n个减少到n-k个（其中n为总量纲个数，n-k为基本量纲个数），可使得试验次数大幅减少。
2.1.5 相似第三定理
相似第三定理表述为：对于几何相似系统，物理过程可用同一方程表达并且对应点上的所有相似模数数值相等。相似第三定理又称为相似逆定理，它描述的是现象相似的充分必要条件。
下面对第三定理的物理本质做理性的说明[4]：
（1）两个现象之间首先要存在着几何相似。
（2）两个现象必须具有相同的性质，这就要求两个现象可以用所有物理量均相同的方程组表示。
（3）各个现象之间维持单值条件相似，这是现象间相似的必要条件。
（4）由单值条件量组成的相似准则相等。
进行模型设计时，基本的步骤如下：
（1）根据相似第三定理，对模型中设计的物理量进行全面、正确的分析。
（2）根据相似第一定理建立全部的相似准则。
（3）根据相似第二定理，将所得到的准则组成π关系式，以此来进行模型设计和模型试验结果的分析。
然而，在实际工程中，有些现象是非常复杂的，难以确定现象的单值条件，只能凭借经验判断哪个参量为系统最主要的参量；另外，也有可能虽然知道实际现象中的单值量，但很难在模型和原型中建立起这些物理量的相似准则。这些因素导致相似三定理难以真正得到满足，使得模型试验的结果与实际问题存在一定近似。