命题III.10

两圆相交，交点不多于两个。

设：假如可能，圆ABC与圆DEF相交，交点超出两个，即为B、G、F和H。

令：连接BH、BG，并在K、L点分别平分两线。从K、L点作KC、LM，使之分别垂直于BH、GB，并经过A、E点（命题I.10、I.11）。

因为在圆ABC中弦AC平分了BH并构成直角，所以：圆ABC的圆心在AC上。

又因为：在同一圆ABC里，弦NO平分弦BG为相等的两半并构成直角。所以圆ABC的圆心在NO上（定义III.1）。

但已经证明它也在AC上，而弦AC与NO除了P点外没有相交的点。所以：点P也是圆ABC的圆心。

同样：我们可以证明P点也是圆DEF的圆心。于是两个相交的圆ABC、圆DEF也有相同的圆心P，这是不可能的（命题III.5）。

所以：两圆相交，其交点不能超出两个。

证完

注解

这是另一个不可能的图形。曲线被设想成圆的圆周，这是不可能作出的。虽然欧几里得命名了圆上的四个点，但实际上只有三个点B、G、H在证明中被利用。

这一证明实际是证明两个圆不能相交于两个以上的点，这里的“相交”不是相切。

赫斯评论道，平分BG、BH的线段并未证明是相交的，事实上，它们是，因为圆ABC的圆心被证明在它们二者上面。

这一命题应用在命题III.24中。