命题I.11

过一条直线上的一个点，可以作该直线的垂线。

设：AB是已知直线，C为直线上的点。

求作：从C点作一条直线垂直于AB。

令：在AC上任取一点D，CB上任取一点Ε，并让CD等于CΕ（命题I.3）。

在DΕ上作等边三角形FDΕ（命题I.1）。连接FC。

那么我说：FC就是直线AB在C点上的垂线。

因为DC等于CΕ，CF是公共边，边DC、CF分别与边ΕC、CF对应且相等；底边DF与底边FΕ相等；故三角形DCF全等于三角形ΕCF（命题I.8），∠DCF与∠ΕCF互为邻角。

如果一条线段在另一条线段所形成的邻角相等，那么两角皆为直角（定义I.10）。所以：∠DCF、∠FCΕ皆为直角。

所以：线段CF垂直于线段AB，并在C点上平分。

所以：过一条直线上的一个点，可以作该直线的垂线。

证完

注解

这一命题和下一命题陈述垂线，一个给定的（已知的）点向给定的线作垂线。在本命题中，给定的点在直线上，而在下一命题中，是不同的情形。

本命题被利用在本卷的I.13、I.46、I.48中，也用在卷2、3、4、6、11、12、13的数个命题中。