命题I.22

用三条线段作三角形，那么这三条线段必须满足于任意两条的和大于第三条的条件。

设：给定线段a、b、c，任意两条的和大于第三条，即a、b的和大于c，a、c的和大于b，b、c的和大于a。要求用a、b、c三条线段作一个三角形。

作直线DΕ，起于D，向Ε方向无限延长。

令：DF等于a，FG等于b，GH等于c（命题I.3）。

以F为圆心、FD为半径作圆DKL；又以G为圆心、GH为半径作圆KLH；连接KF、KG。

求证：三角形KFG的三条边等于a、b、c三条线段。

因为：F是DKL的圆心，故FD＝KF，而FD等于a。所以：KF也就等于a。

又，因为G是圆LKH的圆心，故GH＝GK。

所以：GH也就等于c。所以：KG也就等于c，FG也就等于b。

所以：三条线段KF、FG、GK也就等于a、b、c三条线段。

于是：三角形KFG是以a、b、c三条线段为边的三角形。

所以：用三条线段作三角形，那么这三条线段必须满足于任意两条的和大于第三条的条件。

证完

注解

这一命题的限定语句“于是，任意两条直线之和应该大于余下的一条”引用了三角形不等式（命题I.20），这一条件是必要的，也能满足证明，但欧几里得对此的证明却是失败的。

这一命题事实上是本卷第一命题的归纳，第一命题表明，三条线段全等。同样，欧几里得证明两圆相交也是失败的。

本命题应用在命题I.23、XI.22中。