命题I.25

三角形中如果有两条对应边相等，其中一个的第三边比另一个大，那么也同时有一个角比另一个大。

设：三角形ABC、三角形DΕF有两条对应边相等，AB、AC分别等于DΕ、DF，AB对应DΕ，AC对应DF；令BC大于ΕF。

求证：∠BAC也大于∠ΕDF。

事实上，如果不是这样，则∠BAC等于或者小于∠ΕDF。

现在，先设∠BAC等于∠ΕDF；那么底边BC就会等于ΕF（命题I.4）；但事实不是这样。

所以：∠BAC不等于∠ΕDF。

又，设∠BAC小于∠ΕDF，于是：BC也就会小于ΕF（命题I.24）。但事实不是这样。

所以：∠BAC不小于∠ΕDF。又它们被证明为不相等。所以：∠BAC大于∠ΕDF。

所以：三角形中如果有两条对应边相等，其中一个的第三边比另一个大，那么也同时有一个角比另一个大。

证完