命题I.32

延长三角形的任意一边所形成的外角，等于不相邻两个内角的和，三个内角的和等于180°。

设：延长三角形ABC的BC边至D。

求证：外∠ACD等于两个内角∠CAB与∠ABC的和，且三个内角∠ABC、∠BCA、∠CAB的和等于180°。

令：通过C点作线段CΕ，使之平行于AB（命题I.31）。

因为：AB平行于CΕ，且与AC相交，形成内错角∠BAC、∠ACΕ，两角相等（命题I.29）。

又，因为AB平行于CΕ，线段BD与之相交，∠ΕCD等于同位角∠ABC（命题I.29）。

而∠ACΕ也能被证明等于∠BAC。所以：大角∠ACD等于两个内角∠BAC与∠ABC的和。

令∠ACB与各角相加，于是：∠ACD、∠ACB的和等于∠ABC、∠BCA、∠CAB的和。

而∠ACD、∠ACB的和等于180°（命题I.13）；

所以：∠ABC、∠BCA、∠CAB的和也等于180°。

所以：延长三角形的任意一边所形成的外角，等于不相邻两个内角的和，三个内角的和等于180°。

证完

注解

本命题虽然在本卷中再没有得以利用，但在卷2、3、4、6、11、12、13中却高频率地应用，而推论没有再被利用。