命题I.38

等底等高的三角形面积相等。

设：三角形ABC和三角形DΕF，有相等的底边BC和ΕF，并在同一线段BF及AD上。

求证：三角形ABC的面积等于三角形DΕF的面积。

令：在两个方向上延长AD至G和H；通过B作BG平行于CA（命题I.31）；通过F作FH平行于DΕ。

因为BC等于ΕF，且在同一线段BF、GH上（命题I.36），所以：图形GBCA、DΕFH是平行四边形，且两者相等。

又，因为AB是对角线（命题I.34）。所以：三角形ABC是平行四边形GBCA的一半。

同理：DF是DΕFH的对角线，所以三角形DΕF是平行四边形DΕFH的一半（命题I.34）。所以：三角形ABC的面积等于三角形DΕF的面积。

所以：等底等高的三角形面积相等。

证完

注解

本命题的结论是清晰的，根据命题I.36，底相等且在同一对平行线上的平行四边形相等，又根据命题I.34，三角形是平行四边形的一半，于是，三角形也相等。

本命题应用在命题I.40、I.42、VI.1中。