命题II.5

如果把一条线段先分成两条相等的线段，再分成两条不相等的线段，那么，不相等的两条线段构成的矩形，与以两个分点之间的距离形成的正方形的面积之和，等于原线段一半上的正方形的面积。

令：线段AB在C点被等分，在D点不被等分。

求证：AD线与DB线构成的矩形加上CD线为边的正方形的面积等于CB线为边的正方形的面积。

令：作CB上的正方形CΕFB，连接BΕ，通过D点作DG平行于CΕ或BF，过H作KM平行于AB或ΕF，再过A点作AK平行于CL或BM（命题I.46、I.31）。

那么，因为矩形CLHD等于HGFM，令每个加上DHMB，于是：矩形CLMB等于DGFB（命题I.43）；

又因为矩形CLMB等于AKLL，而AC又等于CB，所以：矩形AKLC也等于DGFB。

令每个加上矩形CLHD，于是：面AKHD就等于折尺形NOP（命题I.36、定义II.2）。

又因为DH等于DB，于是：面AKHD是AD、DB构成的矩形。

所以：折尺形NOP也等于AD、DB构成的矩形。

又，LΕGH等于CD上的正方形，将LΕGH加在以上各边，于是：折尺形NOP加上LΕGH等于AD、DB构成的矩形加上CD上的正方形。

又，折尺形NOP加LΕGH等于CB上的正方形CΕFB，所以：AD与DB上的矩形加上CD上的正方形等于CB上的正方形。

所以：如果把一条线段先分成两条相等的线段，再分成两条不相等的线段，那么，不相等的两条线段构成的矩形，与以两个分点之间的距离形成的正方形的面积之和，等于原线段一半上的正方形的面积。

证完