三、《几何原本》介绍

在《几何原本》中，欧几里得首先给出了点、线、面、角、垂直、平行等定义，接着给出了关于几何和量的十条公理，如“凡直角都相等”“整体大于部分”，以及后来引起许多纷争的“平行线公理”等。公理后面是一个一个的命题及其证明，内容丰富多彩。比如有平面作图、勾股定理、余弦定理、圆的各种性质，空间中平面和直线的垂直、平行和相交等关系，平行六面体、棱锥、棱柱、圆锥、圆柱、球等问题，此外还有比例的理论、正整数的性质与分类、无理量等。公理化结构是近代数学的主要特征，而《几何原本》则是公理化结构的最早典范。欧几里得创造性地总结了他以前的古希腊人的数学，将零散的、不连贯的数学知识整理起来，加上自己的大量创造，构建出彼此有内在联系的有机的宏伟大厦。

本书共分13卷，有5条公设、5条公理、119个定义和465个命题，构成了历史上第一个数学公理体系。

关于重要命题 《几何原本》中涉及诸多重要命题，比如命题I.47就是著名的“勾股定理”。传说这一定理最早是由毕达哥拉斯证明出的，但他的证明方法却没有流传下来。而《几何原本》中的证明，则可以算是现存西方最早证明勾股定理的记载。

关于命题的逻辑关系 《几何原本》中命题间的逻辑关系甚至比现代教科书还高。为了清晰地表明这一关系，千余年来的各种语文版本多附有数学家们对逻辑关系的注解。

关于公理或公设 演绎法，其基本精神是由简单现象去证明较复杂的现象，在数学中同样也遵循这一原理。在这一理论里，逻辑推理虽然至关重要，但更重要的是，我们必须接受一些简单的现象作为我们的“起点”，是明显的“自明”道理，而欧几里得将这些“起点”命名为“公设”或“公理”。

虽然以公理为起点演绎几何的方法并非为欧几里得首创，其首创应该是他之前的泰勒斯，但是《几何原本》中的公设或公理，全部由欧几里得所创造和筛选。这一天才的智力令人叹为观止！

关于第5公设及非欧几何学 欧几里得的不完美催生了新的几何学，这是从第5公设开始的。第5公设不同于其他9条，言语迟钝，仿佛有些力不从心的样子。形式上也不像公设，倒像一个命题。因此，自《几何原本》诞生后，就有无数的数学家研究这条公设，并试图找出证明这条公设的方法。可惜，一直以来，他们的尝试都归于失败！到了19世纪，波尔约和罗巴切夫斯基分别发表了一套与第5公设相反的几何体系，从而证明了第5公设确实是一条“公设”，不能被证明或否定。与此同时，这两位数学家亦为我们带来一个全新的数学世界——非欧几何学。

关于圆面积及球体体积公式，《几何原本》中并没有圆面积或球体体积的计算公式，但在第12卷中，可以找到一些相关命题。在欧几里得之后，另一个希腊天才阿基米德提出球体体积公式。阿基米德应用了一种近乎于现代微积分的计算手法，推算出有关的算式，并成功地计算出圆周率小数后两位的数值。