命题II.7

一条线段被任意的一点切分，以这条线段为边的正方形的面积和其中一条小线段上的正方形的面积之和，等于以总线与分线为边的矩形的面积的两倍与余下的小线段上的正方形的面积之和。

设：线段AB被任意点C所切分。

求证：以AB、BC线为边的正方形之和等于以AB、BC线为边的矩形的两倍与CA线为边的正方形之和。

令：作AB线为边的正方形ADΕB（命题I.46）；连接各点。

那么：由于矩形AHGC等于GNΕF（命题I.43）。

令正方形CGKB与各个相加，于是：整个矩形AHKB便等于整个矩形CNΕB。所以：矩形AHKB、矩形CNΕB的和是矩形AHKB的两倍。

又，矩形AHKB、矩形CNΕB的和等于折尺形KLM加正方形CGKB。所以，折尺形KLM与正方形CGKB的和是矩形AHKB的两倍。

但是，以AB、BC线为边的矩形的两倍也等于矩形AHKB的两倍，因为BF等于BC，于是：折尺形KLM与正方形正方形CGKB之和等于AB、BC为边的矩形的两倍。

令：AC线为边的正方形HDNG与每个相加。

于是，折尺形KLM与以BG、GD线为边的正方形之和等于以AB、BC为边的矩形的两倍与AC上的正方形之和。

又，折尺形KLM与正方形CGFB、HDNG之和等于ADΕB与CGFB的和，它们是AB、BC为边的正方形。

所以：正方形ADΕB、CGFB之和等于AB、BC为边构成的矩形的两倍与以AC线为边的正方形的和。

所以：一条线段被任意的一点切分，以总线为边的正方形和以其中一条小线段为边的正方形的面积之和，等于总线与小线段构成的矩形的面积的两倍与余线上的正方形的面积之和。

证完