命题II.10

在一条被二等分的线段的一端按原直线方向加上一条线段，那么，总线段上的正方形的面积与加线段上的正方形的面积之和，等于原线段一半为边的正方形的面积与另一半加上加线段之和为边的正方形面积的和的两倍。

设：线段AB在C点被等分，线段BD是条加线。

求证：以AD、DB为边的正方形的面积之和是以AC、CD为边的正方形的面积之和的两倍。

从C点作CΕ垂直于AB，且等于AC，也等于CB。连接ΕA、ΕB。过Ε作ΕF平行于AD，过D作FD平行于CΕ（命题I.11、I.3、I.31）。

那么因为：线段ΕF相交于平行线ΕC和FD，∠CΕF、∠ΕFD之和等于两个直角的和。

所以：∠FΕB、∠ΕFD之和小于两个直角的和（命题I.29）。

又，从小于两个直角的角作的延长线必相交，所以：ΕB、FD，如果在B和D两个方向延长，它们将相交（公设I.5）。

令：延长ΕB、FD，并相交于G点，连接AG。

那么，因为：AC等于CΕ，∠ΕAC也等于∠AΕC。在C点的角是直角。

所以：∠ΕAC、∠AΕC是一个直角的一半（命题I.5、I.32）。

同理，∠CΕB、∠ΕBC皆是直角的一半，所以：∠AΕB是直角。

又，因为：∠ΕBC是直角的一半，∠DBG也是直角的一半。又，∠BDG也是直角，因为：它等于∠DCΕ，它们是内错角。

所以：余角∠DGB是直角的一半。所以：∠DGB等于∠DBG，所以：边BD也等于边GD（命题I.15、I.29、I.32、I.6）。

又，∠ΕGF是直角的一半，且在F点的角是直角，因为：它等于在C点的对角。

所以：余角∠FΕG是直角的一半。∠ΕGF等于∠FΕG，于是：边GF也等于边ΕF（命题I.34、I.32、I.6）。

现在，因为：以ΕC为边的正方形的面积等于以CA为边的正方形的面积，以ΕC、CA为边的正方形面积之和是CA为边的正方形面积的两倍。

又，以ΕA为边的正方形的面积等于以ΕC、CA为边的正方形的面积之和。

所以：以ΕA为边的正方形面积是以AC为边的正方形的面积的两倍（命题I.47）。

又因为：FG等于ΕF，以FG为边的正方形面积也等于以FΕ为边的正方形的面积。

所以：以GF、FΕ为边的正方形面积之和是以ΕF为边的正方形面积的两倍。

又，以ΕG为边的正方形面积等于以GF、FΕ为边的正方形面积之和。

所以：以ΕG为边的正方形的面积是以ΕF为边的正方形面积的两倍（命题I.47）。

又，ΕF等于CD，所以：以ΕG为边的正方形的面积是以CD为边的正方形的面积的两倍。且以ΕA为边的正方形的面积也被证明是以AC为边的正方形的面积的两倍。

所以：以AΕ、ΕG为边的正方形的面积之和是以AC、CD为边的正方形的面积之和的两倍（命题I.34）。

又，以AG为边的正方形的面积等于以AΕ、ΕG为边的正方形的面积之和。

所以：AG上的正方形是以AC、CD为边的正方形的面积之和的两倍。

且以AD、DG为边的正方形的面积之和等于以AG为边的正方形的面积，所以：以AD、DG为边的正方形的面积之和等于以AC、CD为边的正方形的面积之和的两倍（命题I.47）。

又，DG等于DB；

所以：以AD、DB为边的正方形的面积之和等于以AC、CD为边的正方形面积之和的两倍。

所以：在一条被二等分的线段的一端按原直线方向加上一条线段，那么，总线段上的正方形的面积与加线段上的正方形的面积之和，等于原线段一半为边的正方形的面积与另一半加上加线段之和为边的正方形面积的和的两倍。

证完