命题III.8

圆外的一点向圆引线段，其中的一条穿过圆心，其余是任意线。那么在凹圆弧上的连线中，穿过圆心的线段最长，其余的线段中，离这条线段越近则越长；在与圆凸面的连线中，该点与直径之间的线段最短，其余的线段离这条线段越近则越短；且从这一点到圆周上的连线中，只有两条线段相等，它们分别位于最短的线段两侧。

设：ABC为圆，D为圆外的一点，从D点连接DA、DE、DF、DC，使DA穿过圆心。

求证：在凹圆弧AEFC各点与D构成的线段中，穿过圆心的DA线段最长，DE大于DF，DF大于DC；在凸圆弧HLKG各点与D构成的线段中DG最短，越靠近DG的线段越短。即DK小于DL，DL小于DH。

令：圆ABC的圆心为M，连接ME、MF、MC、MK、ML和MH（命题III.1）。

那么因为：AM等于EM，令它们各边加上MD。

于是：AD等于EM与MD的和。

又因为EM与MD的和大于ED，所以：AD也大于ED（命题I.20）。

又因为ME等于MF，MD又是公共边，所以：EM与MD的和等于FM与MD的和。

又因为∠EMD大于∠FMD，所以：第三边ED大于第三边FD（命题I.24）。同样，我们可以证明FD大于CD。所以：DA就为最大，DE大于DF，而DF大于DC。

又因为MK与KD的和大于MD，而MG等于MK，于是，余数KD大于余数GD。所以：GD小于KD（命题I.20）。

又因为：在MD上的三角形MLD，两条线段MK、KD交于三角形内。

所以：MK、KD的和小于ML、LD的和。

又，MK等于ML。

所以：余数DK小于余数DL（命题I.21）。

同样，我们可以这么认为，DL也小于DH。所以：DG为最小，DK小于DL，DL小于DH。

进一步说：从D点到圆只有两条相等的线段，它们位于DG线的两侧。

令：在线段MD上的M点，作∠DMB等于∠KMD，连接DB（命题I.23）。

那么因为MK等于MB，MD是公共边。所以：KM、MD两边等于对应的BM、MD两边，且∠KMD等于∠BMD。所以：第三边DK等于第三边DB（命题I.4）。

进一步说：从D点不可能有另一条到圆的线段等于DK。

假设：这是可能的。假定这条线段是DN，于是DK等于DN。DK等于DB，DB也等于DN，即是说，离最短线段DG越近的线段等于离它越远的线段，这是不可能的；

所以：从D点到圆ABC没有第二条线能够位于最短的DG的一侧。

所以：圆外的一点向圆引线段，其中的一条穿过圆心，其余是任意线。那么在凹圆弧上的连线中，穿过圆心的线段最长，其余的线段中，离这条线段越近则越长；在与圆凸面的连线中，该点与直径之间的线段最短，其余的线段离这条线段越近则越短；且从这一点到圆周上的连线中，只有两条线段相等，它们分别位于最短的线段两侧。

证完

注解

这一命题的陈述比前一命题更加复杂。这一命题处理从圆外的某一点D到圆周上的距离。如果直径AG的延长线过D，那么，它的一个终点G是在圆周上并最接近D，且另一点A是最远的一点。因为一个点从A到D沿圆周旅行，尽量靠近D。欧几里得认为圆周分为两个部分，凸起的部分是靠D点近的，同时凹的部分是圆的边较远的部分。最后的陈述是，如果K是圆周上的一个点，那么圆周上有一个正确的点B到D的距离相等（当然K既不是G也不是A，这只是一种假定）。

注意：这一命题的证明同前一命题一样，也有一个逻辑漏洞。后来的许多数学家补充过该漏洞。

这一命题在《原本》中的其他地方再没有被利用过。