数量关系考前必做1000题

第一篇 考点·题型分类精练

第一章 数学运算

本章根据数学运算题型的特点，分为基础运算、初等数学、比例问题、行程问题、几何问题、计数问题、方程与不等式、费用问题、最值问题和其他题型十个专题。每个专题包含30道精选试题，依据难度的不同划分为基础过关自测、错题重点突破和满分极限挑战三个部分。在专题之前还有近五年国考数学运算部分的考情分析，为考生深刻理解数学运算命题规律、进行自主练习提供参考和指导。

考情提要

需要特别注意的是：从2015年开始，国考行测试卷分为两套不同的试卷，一套适用于省级以上（含副省级）综合管理类岗位，另一套适用于市（地）以下综合管理类和行政执法类岗位。数学运算部分在这两套试卷中的不同为：前一套试卷的题量是15道，后一套试卷的题量是10道，即前一套试卷比后一套试卷多5道题目，另外的10道题目则完全相同。这说明针对不同职位类别，数学运算部分的难度会有所不同。

基础知识

一、奇偶运算基本法则

【基础】

奇数±奇数=偶数；

偶数±偶数=偶数；

偶数±奇数=奇数；

奇数±偶数=奇数。

【推论】

（1）任意两个数的和如果是奇数，那么差也是奇数；如果和是偶数，那么差也是偶数。

（2）任意两个数的和或差是奇数，则两数奇偶相反；和或差是偶数，则两数奇偶相同。

二、乘法分配律及因式分解公式

正向乘法分配律：（a+b）c=ac+bc；

逆向乘法分配律：ac+bc=（a+b）c（又叫“提取公因式法”）；

平方差：a2-b2=（a-b）（a+b）；

完全平方和/差：（a±b）2=a2±2ab+b2；

立方和/差：a3±b3=（a±b）（a2∓ab+b2）；

完全立方和/差：（a±b）3=a3±3a2b+3ab2±b3；

幂次运算律：am×an=am+n；（am）n=amn；（a×b）n=an×bn。

三、整除及余数判定基本法则

2、4、8整除及余数判定基本法则

1．一个数能被2（或5）整除，当且仅当其末一位数能被2（或5）整除。

2．一个数能被4（或25）整除，当且仅当其末两位数能被4（或25）整除。

3．一个数能被8（或125）整除，当且仅当其末三位数能被8（或125）整除。

4．一个数被2（或5）除得的余数，就是其末一位数被2（或5）除得的余数。

5．一个数被4（或25）除得的余数，就是其末两位数被4（或25）除得的余数。

6．一个数被8（或125）除得的余数，就是其末三位数被8（或125）除得的余数。

【示例】∵3752的末两位数字“52”能被4整除 ∴3752能被4整除

【示例】∵2988的末三位数字“988”不能被8整除 ∴2988不能被8整除

【示例】∵25198903的末两位数字“03”除以“4”余3 ∴25198903除以4余3

【示例】∵198903的末三位数字“903”除以“8”余7 ∴198903除以8余7

【示例】∵1975的末两位数字“75”能被25整除 ∴1975能被25整除

【示例】∵25903的末三位数字“903”除以“125”余28 ∴25903除以125余28

3、9整除及余数判定基本法则

1．一个数能被3整除，当且仅当其各位数字之和能被3整除。

2．一个数能被9整除，当且仅当其各位数字之和能被9整除。

3．一个数被3除得的余数，就是其各位数字之和被3除得的余数。

4．一个数被9除得的余数，就是其各位数字之和被9除得的余数。

【示例】∵1941的各位数字之和“1+9+4+1=15”能被3整除 ∴1941能被3整除

【示例】∵1935的各位数字之和“1+9+3+5=18”能被9整除 ∴1935能被9整除

【示例】39130825198368的各位数字之和为：3+9+1+3+0+8+2+5+1+9+8+3+6+8=66

∵66不能被9整除 ∴这个数不能被9整除

∵66除以9余3 ∴这个数除以9余3

7整除判定基本法则

1．一个数是7的倍数，当且仅当其末一位的两倍，与剩下的数之差为7的倍数。

2．一个数是7的倍数，当且仅当其末三位数，与剩下的数之差为7的倍数。

【示例】∵362末一位“2”的2倍与“36”之差“32”不能被7整除 ∴362不能被7整除

【示例】∵483末一位“3”的2倍与“48”之差“42”能被7整除 ∴483能被7整除

【示例】∵12047末三位“047”与“12”之差“35”能被7整除 ∴12047能被7整除

【示例】∵23015末三位“015”与“23”之差“8”不能被7整除 ∴23015不能被7整除

11整除判定基本法则

1．一个数是11的倍数，当且仅当其奇数位之和与偶数位之和的差值为11的倍数。

2．一个数是11的倍数，当且仅当其末三位数，与剩下的数之差为11的倍数。

【示例】∵7394奇数位之和“7+9=16”与偶数位之和“3+4=7”的差值“16-7=9”不是11的倍数 ∴7394不能被11整除

【示例】∵29381奇数位之和“2+3+1=6”与偶数位之和“9+8=17”的差值“17-6=11”是11的倍数 ∴29381能被11整除

【示例】∵15235末三位“235”与剩下的“15”之差“220”能被11整除 ∴15235能被11整除

13整除判定基本法则

一个数是13的倍数，当且仅当其末三位数，与剩下的数之差为13的倍数。

【示例】∵181235末三位“235”与“181”差“54”不能被13整除 ∴181235不能被13整除

【示例】∵624546末三位“546”与“624”差“78”能被13整除 ∴624546能被13整除

● 核心提示：从上述表述中，我们发现7、11、13有一个相同的整除判定法则，就是判断其末三位数与剩下的数之差。这源自经典分解：1001=7×11×13。

四、数列的前n项和

1+3+5+…+（2n-1）=n2；

2+4+6+…+2n=n（n+1）；

13+33+53+…+（2n-1）3=n2（2n2-1）；

等比数列求和公式：；

等差数列求和公式：或。

五、十字交叉法

“十字交叉法”实际上是一种简化方程的形式，凡是符合下图左边方程的形式，都可以用右边的“十字交叉”的形式来简化：

六、裂项求和法

裂项求和法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的。常见通项分解（裂项）公式：

小结：此类变形的特点是将原数列每一项拆为两项之后，其中中间的大部分项都互相抵消了，只剩下有限的几项。

七、几何图形周长、面积、体积计算公式

C正方形=4a；C长方形=2（a+b）；C圆=2πR；。

S正方形=a2；S长方形=ab；S圆=πR2；；

S平行四边形=ah；；；

正方体表面积=6a2；长方体表面积=2ab+2bc+2ac；球表面积=4πR2=πD2。

正方体体积=a3；长方体体积=abc；球体积=πR3；

圆柱体体积=πR2h；圆锥体体积=πR2h。

勾股定理：a2+b2=c2（其中：a、b为直角边，c为斜边）

八、计数问题公式

满足条件Ⅰ的个数+满足条件Ⅱ的个数-两者都满足的个数=总个数-两者都不满足的个数

|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|-|A∩B|-|B∩C|-|C∩A|+|A∩B∩C|

特别注意：上式左边代表至少满足三个条件之一的情况，也等于总数减去三个条件都不满足的情况。

在三集合的题型中，假设满足三个条件的元素数量分别为A、B、C，而至少满足三个条件之一的元素的总量为W。其中：只满足一个条件的元素数量为x，只满足两个条件的元素数量为y，满足三个条件的元素数量为z，根据下图可以得到下面两个等式：

从图中很明显可以看出，x和y都分别包含3个部分，是这3个部分的总和。因此，当题目关心的是这样的总和而不是各个单独部分的数值时，往往用这两个等式。

九、行程问题公式

行程问题基本比例：。

t若相等，S与v成正比；v若相等，S与t成正比；S若相等，v与t成反比。

相遇问题：相遇距离=（大速度+小速度）×相遇时间。

追及问题：追及距离=（大速度-小速度）×追及时间。

背离问题：背离距离=（大速度+小速度）×背离时间。

反向运动：第N次相遇路程和为N个周长，环形周长=（大速度+小速度）×相遇时间。

同向运动：第N次相遇路程差为N个周长，环形周长=（大速度-小速度）×相遇时间。

顺流路程=顺流速度×顺流时间=（船速+水速）×顺流时间；

逆流路程=逆流速度×逆流时间=（船速-水速）×逆流时间。

队头→队尾：队伍长度=（人速+队伍速度）×时间。

队尾→队头：队伍长度=（人速-队伍速度）×时间。

左右点出发：

第N次迎面相遇，路程和=全程×（2N-1）；第N次追上相遇，路程差=全程×（2N-1）。

同一点出发：

第N次迎面相遇，路程和=全程×2N；第N次追上相遇，路程差=全程×2N。

等距离平均速度核心公式：（其中v1和v2分别代表往、返的速度）。

等发车前后过车核心公式：发车时间间隔。

单岸型：；两岸型：S=3S1-S2（其中S表示两岸的距离）。

漂流所需时间=（其中t顺和t逆分别代表船顺流所需时间和逆流所需时间）。

专题一 基础运算

考点·技法清单

基础运算包括纯粹计算问题、运算拓展题型以及数列综合运算三类题型。其中，纯粹计算问题考查频度越来越低，但其所要求掌握的计算方法和计算技巧，是整个数学运算的基础；运算拓展题型是近年江苏、广东、四川等省考的创新题型，难度其实并不大；数列综合运算常以等差数列为载体，等比数列偶有涉及。基础运算常用解题技巧如下表所示：

基础过关自测

1．数列, …中，数值最小的项是（　）。

A．第4项

B．第6项

C．第9项

D．不存在

2．12+22+32+…+1234567892的个位数是（　）。

A．3

B．4

C．5

D．6

3．某大学音乐系学生在学校礼堂举行音乐会，第一场音乐会前三排位置的座位票价是每张10元，其他座位的票价是每张6元，全场的营业收入为2040元；第二场音乐会第四排位置的座位票价也被提升到每张10元，全场的营业收入为2120元。如果两场音乐会都满座，而且每一排的座位数量也都一样，那么该礼堂一共有（　）座位。

A．300个

B．320个

C．480个

D．500个

4．国际象棋棋盘为64方格，用铅笔从第一格开始填写1，第二格填写2，第三格填写3，以此类推至64，然后用橡皮将所有能被3整除的数全部擦掉，则所剩数字的总和是（　）。

A．2408

B．1387

C．1408

D．1487

5．的值为（　）。

A．

B．

C．

D．

6．若任意正整数x和y，定义x⊕y=2x+y，x⊗y=yx，则1⊕（2⊗3）=（　）。

A．10

B．11

C．64

D．81

7．小张用10万元购买某只股票1000股，在亏损20%时，又增持该只股票1000股。一段时间后，小张将该只股票全部卖出，不考虑交易成本，获利2万元。那么，这只股票在小张第二次买入到卖出期间涨了多少？（　）

A．0%

B．20%

C．25%

D．30%

8．123456788×123456790-123456789×123456789=（　）。

A．-1

B．0

C．1

D．2

9．小赵、小钱、小孙、小李、小周五个人的收入依次成等比，已知小赵的收入是3000元，小孙的收入是3600元，那么小周比小孙的收入高（　）。

A．700元

B．720元

C．760元

D．780元

10．数22016-1可被（　）整除。

A．2

B．4

C．5

D．6

错题重点突破

1．设，则100a的整数部分是（　）。

A．148

B．149

C．150

D．100

2．的值为（　）。

A．

B．

C．

D．

3．这四个数中，最大的数为最小的数的几倍？（　）

A．倍

B．倍

C．倍

D．倍

4．一个公比为2的等比数列，第n项与前n-1项和的差等于5，则此数列前4项之和为（　）。

A．70

B．85

C．80

D．75

5．企业某次培训的员工中有369名来自A部门，412名来自B部门。现分批对所有人进行培训，要求每批人数相同且批次尽可能少。如果有且仅有一批培训对象同时包含来自A部门和B部门的员工，那么该批中有多少人来自B部门？（　）

A．14

B．32

C．57

D．65

6．农民小张在2010年种植了水稻、小麦和玉米，收入分别占总收入的50%、30%和20%；2011年小张种植的这三种农产品的产量不变，价格分别比上年提高了10%、20%和15%，问2011年小张总收入比上年增加了多少？（　）

A．12%

B．14%

C．16%

D．17%

7．，则T值的整数部分是（　）。

A．180

B．181

C．182

D．183

8．计算110.12+1210.32+1220.42+1260.82的值为（　）。

A．4555940.8

B．4555940.9

C．4555941.18

D．4555940.29

9．13×99+135×999+1357×9999的值是（　）。

A．13507495

B．13574795

C．13704675

D．13704795

10．高架桥12:00—14:00每分钟车流量比9:00—11:00少20%，9:00—11:00、12:00—14:00、17:00—19:00三个时间段的平均每分钟车流量比9:00—11:00多10%。问17:00—19:00每分钟的车流量比9:00—11:00多（　）。

A．20%

B．30%

C．40%

D．50%

满分极限挑战

1．762013+252014的最后两位数字是（　）。

A．01

B．91

C．21

D．51

2．将14拆成几个自然数的和，再求出这些数的乘积，可以求出的最大乘积是多少？（　）

A．72

B．96

C．144

D．162

3．1005×10061006-1006×10051005=（　）。

A．0

B．100

C．1000

D．10000

4．2009×20082008-2008×20092009=（　）。

A．0

B．1

C．2

D．3

5．=（　）。

A．98

B．99

C．100

D．101

6．在数列2,3,5,8,12,17,23, …中，第2012个数被5除所得余数是（　）。

A．1

B．3

C．2

D．4

7．11338×25593的值为（　）。

A．290133434

B．290173434

C．290163434

D．290153434

8．计算=（　）。

A．

B．

C．

D．

9．有一根9节的竹子，其任意节与相邻节的长度成等差数列，上面4节的长度共3尺，下面3节的长度共4尺，则从上到下第6节的长度为多少尺？（　）

A．

B．

C．

D．

10．某种产品每箱48个。小李制作这种产品，第1天制作了1个，以后每天都比前一天多制作1个，X天后总共制作了整数箱产品。问X的最小值在以下哪个范围内？（　）

A．不到20

B．在20—40之间

C．在41—60之间

D．超过60

（注：本专题题目答案及详解见第164页）

专题二 初等数学

考点·技法清单

初等数学主要包括多位数问题、约数倍数问题、余数同余问题、平均数问题、星期日期问题及循环周期问题等，具体解题技巧如下表所示：

同余问题口诀注释：

（1）余同：同一个数除以几个不同的数，得到的余数相同，被除数可表示为各除数的最小公倍数的n倍加上这个相同的余数，即余同取余。例：“一个数除以4余1，除以5余1，除以6余1”，则取1，被除数表示为60n+1（n=1,2,3, …）

（2）和同：同一个数除以几个不同的数，得到的余数与对应的除数的和相同，被除数可表示为各除数的最小公倍数的n倍加上这个相同的和，即和同加和。例：“一个数除以4余3，除以5余2，除以6余1”，则取7，被除数表示为60n+7（n=1,2,3, …）

（3）差同：同一个数除以几个不同的数，得到的余数与除数的差相同，被除数可表示为各除数的最小公倍数的n倍减去这个相同的差数，即差同减差。例：“一个数除以4余1，除以5余2，除以6余3”，则取3，被除数表示为60n-3（n=1,2,3, …）

基础过关自测

1．某汽车厂商生产甲、乙、丙三种车型，其中乙型产量的3倍与丙型产量的6倍之和等于甲型产量的4倍，甲型产量与乙型产量的2倍之和等于丙型产量的7倍。则甲、乙、丙三型产量之比为（　）。

A．5∶4∶3

B．4∶3∶2

C．4∶2∶1

D．3∶2∶1

2．某村共有土地800亩，平均分给500个农民，则每个农民可分到土地（　）亩。

A．1.2

B．1.6

C．2

D．2.4

3．某单位组织职工参加团体操表演，表演的前半段队形为中间一组5人，其他人按8人一组围在外圈；后半段队形变为中间一组8人，其他人按5人一组围在外圈。该单位职工人数为150人，则最多可有多少人参加？（　）

A．149

B．148

C．138

D．133

4．某人出生于20世纪70年代，某年他发现从当年起连续10年自己的年龄均与当年年份数字之和相等（出生当年算0岁）。问他在以下哪一年时，年龄为9的整数倍？（　）

A．2006年

B．2007年

C．2008年

D．2009年

5．服装厂的工人每人每天可以生产4件上衣或7条裤子，一件上衣和一条裤子为一套服装。现有66名工人生产，每天最多能生产多少套服装？（　）

A．168

B．188

C．218

D．246

6．已知2008年的元旦是星期二，问2009年的元旦是星期几？（　）

A．星期二

B．星期三

C．星期四

D．星期五

7．设a、b均为正整数，且有等式11a+7b=132成立，则a的值为（　）。

A．6

B．4

C．3

D．5

8．小明和小华计算甲、乙两个不同自然数的积（这两个自然数都比1大）。小明把较大的数字的个位数错看成了一个更大的数字，其计算结果为144，小华却把乘号看成了加号，其计算结果为28。问两个数的差为（　）。

A．16

B．12

C．8

D．4

9．一个三位数除以53，商是a，余数是b（a、b都是正整数），则a+b的最大值是（　）。

A．69

B．80

C．65

D．75

10．有一种红砖，长24厘米，宽12厘米，高5厘米，至少用多少块红砖才能拼成一个实心的正方体？（　）

A．600块

B．800块

C．1000块

D．1200块

错题重点突破

1．花圃自动浇水装置的规则设置如下：

①每次浇水在中午12:00—12:30之间进行；

②在上次浇水结束后，如连续3日中午12:00气温超过30摄氏度，则在连续第3个气温超过30摄氏度的日子中午12:00开始浇水；

③如在上次浇水开始120小时后仍不满足条件②，则立刻浇水。

已知6月30日12:00—12:30该花圃第一次自动浇水，7月份该花圃共自动浇水8次，问7月至少有几天中午12:00的气温超过30摄氏度？（　）

A．18

B．20

C．12

D．15

2．在一条新修的道路两侧各安装了33座路灯，每侧相邻路灯之间的距离相同。为提高照明亮度，有关部门决定在该道路两侧共加装16座路灯，要使加装后相邻路灯之间的距离也相同，最多有（　）座原来的路灯不需要挪动。

A．9

B．10

C．18

D．20

3．某突击队150名工人准备选一名代表上台领奖，选择的方法是：让150名工人排成一排，由第一名开始报数，报奇数的人落选退出队列，报偶数的站在原位置不动，然后再从头报数，如此继续下去，最后剩下的一名当选。小李非常想去，他在第一次排队时应在队列的什么位置上才能被选中？（　）

A．64

B．128

C．148

D．150

4．某个月有5个星期三，并且第三个星期六是18号。请问以下不能确定的答案是（　）。

A．这个月有31天

B．这个月最后一个星期日不是28号

C．这个月没有5个星期六

D．这个月有可能是闰年的2月份

5．一本书的上下册共735页，小刚看上册，每天看45页；小强看下册，每天看30页。5天后他们各自未看的页数相等，此时小强下册还剩下（　）页没看。

A．180

B．200

C．210

D．240

6．正整数a乘以1080得到一个完全平方数，问a的最小值是（　）。

A．30

B．60

C．15

D．10

7．某市服务行业举行业务技能大赛，其中东区参赛人数占总人数的1/5，西区参赛人数占总人数的2/5，南区参赛人数占总人数的1/4，其余的是北区的参赛人员。结果东区参赛人数的1/3获奖，西区参赛人数的1/12获奖，南区参赛人数的1/9获奖，已知参赛总人数超过100人，不到200人，则参赛总人数为（　）。

A．120

B．140

C．160

D．180

8．俄罗斯实行夏令时后，北京和俄罗斯的时差是4小时，例如北京时间12点时，莫斯科是8点。某日当北京时间8:25时，李同学和张老师分别从北京和俄罗斯同时出发去对方所在地，张老师于北京时间15:46到达北京，李同学和张老师在途中所花时间之比是6∶7，那李同学到达莫斯科时，当地时间为（　）。

A．10:25

B．10:39

C．10:43

D．11:51

9．小瑗和爸爸一起包饺子，爸爸包的饺子是小瑗的两倍。爸爸的饺子放在四个盘子里，小瑗的饺子放在两个盘子里。六个盘子中的饺子数依次为15、19、20、21、22、23。

那么小瑗的饺子在（　）。

A．第2盘与第4盘

B．第3盘与第4盘

C．第2盘与第3盘

D．第1盘与第6盘

10．甲、乙两个小分队的人数之和在90到110之间。如果从甲队调一定人数给乙队，则乙队的人数就是甲队的2倍；如果乙队调同样的人数给甲队，则甲队的人数就是乙队的3倍。问甲队调多少人给乙队之后，乙队的人数是甲队的5倍？（　）

A．18

B．24

C．30

D．36

满分极限挑战

1．可以分解为三个质数相乘的最小的三位数是（　）。

A．100

B．102

C．104

D．105

2．一笔不少于千元的奖金，若3位高管平分，还剩2元；若4位中层平分，还剩1元。若12位员工平分，则剩下（　）元。

A．3

B．5

C．7

D．9

3．训练时，若干名新兵站成一排，从1开始报数，除了甲以外其他人报的数之和减去甲报的数恰好等于50，共有多少名新兵？（　）

A．10

B．11

C．12

D．13

4．设有三个自然数，分别是一位数、两位数和三位数，这三个数的乘积为2004，则三数之和为（　）。

A．100

B．180

C．179

D．178

5．某校的学生总数是一个三位数，平均每个班35人，统计员提供的学生总数比实际总人数少270人。原来，他在记录时粗心地将这个三位数的百位与十位的数字对调了。该学校学生总数最多是多少人？（　）

A．748

B．630

C．525

D．360

6．某企业组织80名员工一起去划船，每条船乘客定员12人，则该企业最少需要租船（　）条。

A．7

B．8

C．9

D．10

7．有一条长100厘米的纸带，从一端开始，先涂一段红色，长度为4厘米；再涂一段白色，长度为4厘米。按此规律重复操作，直到颜色涂满整条纸带。则涂红色的部分共有（　）段。

A．10

B．13

C．15

D．25

8．小王周末组织朋友自助游，费用均摊。结账时，如果每人付450元，则多出100元；如果小王的朋友每人付430元，小王自己要多付60元才刚好。这次活动人均费用是（　）。

A．437.5元

B．438.0元

C．432.5元

D．435.0元

9．十几个小朋友围成一圈，按顺时针方向一圈一圈地循环报数，如果报1和100的是同一人，那么共有多少个小朋友？（　）

A．10

B．11

C．13

D．15

10．设a、b均为正整数，若11a+7b=84，则a的值为（　）。

A．4

B．5

C．7

D．8

（注：本专题题目答案及详解见第167页）

专题三 比例问题

考点·技法清单

比例问题的核心方法：设“1”法，将某个量设为便于计算的某一常数。比例问题包含以下问题：溶液问题、工程问题、牛吃草问题和钟表问题等，具体解题技巧如下表所示：

基础过关自测

1．甲、乙两条生产线生产A和B两种产品。其中甲生产线生产A、B产品的效率分别是乙生产线的2倍和3倍。现有2种产品各X件的生产任务，企业安排甲和乙生产线合作尽快完成任务，最终甲总共生产了1.5X件产品。问乙在单位时间内生产A的件数是生产B件数的多少倍？（　）

A．

B．

C．

D．

2．一项工程，如果小王先单独干6天后，小刘接着单独干9天可完成总任务量的2/5；如果小王单独干9天后，小刘接着单独干6天可完成总任务量的7/20。则小王和小刘一起完成这项工作需要多少天？（　）

A．15

B．20

C．24

D．28

3．小王夜跑后回家喝水，往300毫升的杯子中倒入200毫升80℃热水和100毫升20℃凉水，发现依然太烫，无法喝下。于是接下来每次他都将水杯里的水倒去60毫升，加入同等体积的20℃凉水。假设在倒水过程中，水温没有流失，运动后人适宜的饮水温度范围是34-38℃，那么小王一共加了几次60毫升的凉水？（　）

A．2

B．3

C．4

D．5

4．一游泳池有进出水管各一根，单独开放进水管20分钟可注满全池，单独开放出水管40分钟可放空满池水。一次注水2分钟后发现出水管并未关闭，及时关闭出水管后继续注水。那么再需（　）分钟可注满游泳池。

A．18

B．18.5

C．19

D．20

5．浓度为30%的酒精溶液，加入一定量的水后浓度变为20%。再加入同样多的水后浓度变为（　）。

A．18%

B．15%

C．12%

D．10%

6．一项工程，甲、乙合作16天完成，乙、丙合作12天完成，丙、丁合作16天完成，如果甲、丁合作，完成这项工程需要多少天？（　）

A．21

B．24

C．26

D．27

7．甲、乙两个工程队修建一条乡村公路，甲工程队修了500米以后，乙工程队来修，以往资料显示，乙工程队的效率是甲工程队的2倍，乙工程队修600米公路所用的时间比甲工程队修500米公路的时间还少20天。甲工程队的效率是（　）。

A．25米/天

B．15米/天

C．20米/天

D．10米/天

8．工厂的两个车间共同组装6300辆自行车。如果先由一号车间组装8天，再由二号车间组装3天，刚好可以完成任务；如果先由二号车间组装6天，再由一号车间组装6天，也刚好可以完成任务。则一号车间每天比二号车间多组装（　）辆自行车。

A．210

B．180

C．150

D．130

9．某企业为全体员工定制工作服，请服装公司的裁缝量体裁衣。裁缝每小时为52名男员工和35名女员工量尺寸。几小时后，刚好量完所有女员工的尺寸，这时还有24名男员工没量。若男员工与女员工的人数比为11∶7，则该企业共有（　）名员工。

A．720

B．810

C．900

D．1080

10．收割一块稻田，丈夫单独收割需要3天完成，妻子单独收割需要6天完成，夫妻两人共同收割，则需要（　）天完成。

A．2

B．3

C．6

D．9

错题重点突破

1．甲、乙两个工程队共同参与一项建设工程。原计划由甲队单独施工30天完成该项工程的后，乙队加入，两队同时再施工15天完成该项工程。由于甲队临时有别的业务，其参加施工的时间不能超过36天，那么为全部完成该项工程，乙队至少要施工多少天？（　）

A．30

B．24

C．20

D．18

2．甲、乙合作一项工作需15天才能完成。现甲、乙合作10天后，乙再单独做6天，还剩下这项工作的，则甲单独做这项工作需要的天数是（　）。

A．40

B．38

C．36

D．32

3．某件刺绣产品，需要效率相当的三名绣工8天才能完成；绣品完成50%时，一人有事提前离开，绣品由剩下的两人继续完成；绣品完成75%时，又有一人离开，绣品由最后剩下的那个人做完。那么，完成该件绣品一共用了（　）。

A．10天

B．11天

C．12天

D．13天

4．瓶中装有浓度为20%的酒精溶液1000克，现在又分别倒入200克和400克的A、B两种酒精溶液，瓶里的溶液浓度变为15%。已知A种酒精溶液的浓度是B种酒精溶液浓度的2倍。那么A种酒精溶液的浓度是多少？（　）

A．5%

B．6%

C．8%

D．10%

5．某科学兴趣小组在进行一项科学实验，从装满100克浓度为80%的盐水中倒出40克盐水后，再倒入清水将杯倒满，搅拌后再倒出40克盐水，然后再倒入清水将杯倒满，这样反复三次后，杯中盐水的浓度是（　）。

A．11.52%

B．17.28%

C．28.8%

D．48%

6．甲、乙、丙三个工程队完成一项工作的效率比为2∶3∶4。某项工程，乙先做了后，余下交由甲与丙合作完成，3天后完成工作。问完成此工程共用了多少天？（　）

A．6

B．7

C．8

D．9

7．在某状态下，将28克某种溶质放入99克水中恰好配成饱和溶液，从中取出溶液加入4克溶质和11克水，请问此时浓度变为多少？（　）

A．21.61%

B．22.05%

C．23.53%

D．24.15%

8．A、B、C、D四个工程队修建一条马路，A、B合作可用8天完成，A、C或B、D合作可用7天完成，问C、D合作能比A、B合作提前多少天完成？（　）

A．

B．

C．

D．2

9．有一只怪钟，每昼夜设计成10小时，每小时100分钟。当这只怪钟显示5点时，实际上是中午12点，当这只怪钟显示8点50分时，实际上是什么时间？（　）

A．17点50分

B．18点10分

C．20点04分

D．20点24分

10．甲乙两部参加军事演习。甲部从大本营以60千米/小时的速度往西行进，乙部晚半小时由大本营往东行进，速度比甲部慢。两部同时接到军令紧急集合，集合地位于大本营正北某处。此时两部所在位置与集合地恰好构成有一角为30度的直角三角形。若两部同时调整方向往集合地行军，且保持速度不变，则可同时到达集合地。问集合地与大本营的距离约为多少千米？（　）

A．38

B．41

C．44

D．48

满分极限挑战

1．有甲、乙两个水池，其中甲水池中一直有水注入。如果分别安排8台抽水机去抽空甲、乙水池，则分别需要16小时和4小时，如给甲水池加5台，则可以提前10小时抽空。若共安排20台抽水机，则为了保证两个水池能同时抽空，在甲水池工作的抽水机应当比乙水池多多少台？（　）

A．4

B．6

C．8

D．10

2．甲和乙两条自动化生产线同时生产相同的产品，甲生产线单位时间的产量是乙生产线的5倍，甲生产线每工作1小时就需要花3小时时间停机冷却，而乙生产线可以不间断生产。问以下哪个坐标图能准确表示甲、乙生产线产量之差（纵轴L）与总生产时间（横轴T）之间的关系？（　）

A．

B．

C．

D．

3．3点19分时，时钟上的时针与分针所构成的锐角为几度？（　）

A．14度

B．14.5度

C．15度

D．15.5度

4．一条隧道，甲用20天时间可以挖完，乙用10天时间可以挖完，现在按照甲挖完一天，乙再接替一天，然后甲再接替乙挖一天……如此循环，挖完整个隧道需要多少天？（　）

A．16

B．15

C．14

D．13

5．某单位财务主管准备去办理公积金业务，他在时钟的时针和分针重合时准时出发，当他办理完业务返回时，时针刚好旋转30度，此时分针旋转过的角度是时针旋转过的角度的（　）。

A．8倍

B．15倍

C．12倍

D．10倍

6．甲、乙两个工程队共同修建一段长为2100千米的公路，甲队每天比乙队少修50千米，甲队先单独修3天，余下的路程与乙队合修6天完成，则乙队每天所修公路的长度是（　）。

A．135千米

B．140千米

C．160千米

D．170千米

7．药厂使用电动研磨器将一批晒干的中药磨成药粉。厂长决定从上午10点开始，增加若干台手工研磨器进行辅助作业。他估算如果增加2台，可在晚上8点完成，如果增加8台，可在下午6点完成。问如果希望在下午3点完成，需要增加多少台手工研磨器？（　）

A．20

B．24

C．26

D．32

8．假设某地森林资源的增长速度是一定的，且不受到自然灾害等影响，那么若每年开采110万立方米，则可开采90年；若每年开采90万立方米则可开采210年。为了使这片森林可持续开发，则每年最多开采多少万立方米？（　）

A．30

B．50

C．60

D．75

9．早上7点两组农民开始在麦田里收割麦子，其中甲组20人，乙组15人。8点半，甲组分出10人捆麦子；10点，甲组将本组所有已割的麦子捆好后，全部帮乙组捆麦子；如果乙组农民一直在割麦子，什么时候乙组所有已割的麦子能够捆好？（假设每个农民的工作效率相同）（　）

A．10:45

B．11:00

C．11:15

D．11:30

10．某河道由于淤泥堆积影响到船只航行安全，现由工程队使用挖沙机进行清淤工作，清淤时上游河水又会带来新的泥沙。若使用1台挖沙机300天可完成清淤工作，使用2台挖沙机100天可完成清淤工作。为了尽快让河道恢复使用，上级部门要求工程队25天内完成河道的全部清淤工作，那么工程队至少要有多少台挖沙机同时工作？（　）

A．4

B．5

C．6

D．7

（注：本专题题目答案及详解见第170页）

专题四 行程问题

考点·技法清单

基本公式：距离=速度×时间。

运动时间相等，运动路程与运动速度成正比。

运动路程相等，运动速度与运动时间成反比。

路程比=速度比×时间比，即。

往返运动平均速度关系式：。

相遇追及问题：有益于相对运动的用“加”，速度取“和”，包括相遇、背离等问题。有碍于相对运动的用“减”，速度取“差”，包括追及问题等。

相遇距离=（大速度+小速度）×相遇时间

追及距离=（大速度-小速度）×追及时间

环形运动问题：

环形周长=（大速度+小速度）×相向运动的两人两次相遇的时间间隔

环形周长=（大速度-小速度）×同向运动的两人两次相遇的时间间隔

流水行船问题：

顺流路程=顺流速度×顺流时间=（船速+水速）×顺流时间

逆流路程=逆流速度×逆流时间=（船速-水速）×逆流时间

电梯运动问题：

能看到的电梯级数=（人速+电梯速度）×沿电梯运动方向运动所需时间

能看到的电梯级数=（人速-电梯速度）×逆电梯运动方向运动所需时间

基础过关自测

1．在一次航海模型展示活动中，甲、乙两款模型在长100米的水池两边同时开始相向匀速航行，甲款模型航行100米要72秒，乙款模型航行100米要60秒，若调头转身时间略去不计，在12分钟内甲、乙两款模型相遇次数是（　）。

A．9

B．10

C．11

D．12

2．如图，正方形的迷你轨道边长为1米，1号电子机器人从点A以1米/秒的速度顺时针绕轨道移动，2号电子机器人从点A以3米/秒的速度逆时针绕轨道移动，则它们的第2017次相遇在（　）。

A．点A

B．点C

C．点B

D．点D

3．一个圆形的人工湖，直径为50千米，某游船从码头甲出发，匀速直线行驶30千米到码头乙停留36分钟，然后到与码头甲直线距离为50千米的码头丙，共用时2小时。问该游船从码头甲直线行驶到码头丙需用多少时间？（　）

A．50分钟

B．1小时

C．1小时20分

D．1小时30分

4．每天下午4点半小李放学时，妈妈总是从家开车准时到达学校接他回家，某天学校提前一个小时放学，小李自己步行回家，途中遇到开车接他的妈妈，结果比平时提前30分钟到家。若妈妈开车的速度一直保持不变，则小李步行（　）分钟后与妈妈相遇。

A．40

B．45

C．50

D．53

5．小强从学校出发赶往首都机场乘坐飞机回老家，若坐平均速度40千米/小时的机场大巴，则飞机起飞时他距机场还有12千米；如果坐出租车，车速50千米/小时，他能够先于起飞时间24分钟到达，则学校距离机场（　）千米。

A．100

B．132

C．140

D．160

6．一列货运火车和一列客运火车同向匀速行驶，货车的速度为72千米/时，客车的速度为108千米/时。已知货车的长度是客车的1.5倍，两列火车由车尾平齐到车头平齐共用了20秒，则客运火车长（　）米。

A．160

B．240

C．400

D．600

7．甲、乙两船分别从上游和下游同时出发，甲顺流而下，乙逆流而上，相遇时甲、乙走过的路程之比为3∶1，两船相遇后各自立即掉头沿原路返回，甲、乙各自返回到出发点所用时间之比为5∶1。设船速和水流速度均不变，则甲船速度与乙船速度的比值是（　）。

A．

B．

C．

D．

8．甲车从A地、乙车从B地同时出发匀速相向行驶，第一次相遇距离A地100千米。两车继续前进，到达对方起点后立即以原速度返回，在距离A地80千米的位置第二次相遇。则A、B两地相距多少千米？（　）

A．170

B．180

C．190

D．200

9．某列车通过1200米长的隧道要用时33秒，与另一列长150米、速度为50米/秒的列车错车而过需要3秒，则该列车减速一半后，通过一座600米的桥梁所需的时间为（　）。

A．18秒

B．20秒

C．30秒

D．36秒

10．小张和小李二人在400米标准环形跑道起点处，同向分别以120米/分钟、40米/分钟的速度同时出发，小张每追上小李一次，小张的速度减少10米/分钟，小李的速度增加10米/分钟，当二人速度相等时，则他们需要的时间是（　）。

A．分钟

B．分钟

C．分钟

D．分钟

错题重点突破

1．某人开车从A镇前往B镇，在前一半路程中，以每小时60千米的速度前进；而在后一半的路程中，以每小时120千米的速度前进。则此人从A镇到达B镇的平均速度是每小时多少千米？（　）

A．60

B．80

C．90

D．100

2．一辆车从甲地开往乙地，如果提速20%，可以比原定时间提前1小时到达，如果以原速行驶120千米后，再将速度提高25%，则可提前40分钟到达。问甲乙两地相距多少千米？（　）

A．240

B．250

C．270

D．300

3．一个人从家到公司，当他走到路程的一半的时候，速度下降了10%，问：他走完全程所用时间的前半段和后半段所走的路程比是（　）。

A．10∶9

B．21∶19

C．11∶9

D．22∶18

4．晚上21点整，甲、乙两车同时从A地出发匀速开往B地，同一时间丙、丁两车从B地出发匀速开往A地。甲车时速是乙车的3倍。乙车行驶3小时后首先与丙相遇，再行驶1小时之后与丁相遇。若4辆车到达目的地的时间正好都是第二天内的整点时间，问甲车和丙车是在几点相遇的？（　）

A．0点整

B．23点30分

C．23点整

D．22点30分

5．甲车上午8点从A地出发匀速开往B地，出发30分钟后乙车从A地出发以甲车2倍的速度前往B地，并在距离B地10千米时追上甲车。如乙车9点10分到达B地，问甲车的速度为多少千米/小时？（　）

A．30

B．36

C．45

D．60

6．小李以每分钟80米的速度从家中步行去上班，走了路程的20%之后，他又前行了2分钟，这时他发现尚有四分之三的路程，问小李以该速度步行到单位还需多少分钟？（　）

A．15

B．20

C．30

D．40

7．小船顺流而下航行36千米到达目的地。已知小船返回时多用了1小时30分钟，小船在静水中速度为10千米/时，问水流速度是多少？（　）

A．8千米/时

B．6千米/时

C．4千米/时

D．2千米/时

8．某大学生从学校骑车至某小区，学校与该小区仅相隔一个山坡。从学校直接上坡，再下坡即到达该小区。已知下坡速度是上坡速度的2.5倍，下坡所花时间是上坡时间的一半。若返回时的上下坡速度仍保持不变，则从小区返回学校花费时间与从学校到小区花费时间之比为（　）。

A．11∶10

B．10∶11

C．12∶11

D．11∶12

9．环形跑道的周长为400米，甲乙两人骑车同时从同一地点出发，匀速相向而行，16秒后甲乙相遇。相遇后，乙立即调头，6分40秒后甲第一次追上乙，问甲追上乙的地点距原来的起点多少米？（　）

A．8

B．20

C．180

D．192

10．丙地为甲、乙两地之间高速公路上的一个测速点，其与甲地之间的距离是与乙地之间距离的一半，A、B两车分别从甲地和乙地同时出发匀速相向而行，第一次迎面相遇的位置距离丙地500米，两车到达对方出发地后立刻原路返回，第二次两车相遇也为迎面相遇，问第二次相遇的位置一定（　）。

A．距离甲地1500米

B．距离乙地1500米

C．距离丙地1500米

D．距离乙、丙中点1500米

满分极限挑战

1．某人乘坐缆车下山，发现每隔半分钟就能看到一架对面上山的缆车。如果所有的缆车速度相同，那么每隔几分钟发一架缆车？（　）

A．0.25

B．0.5

C．1

D．2

2．两艘船相对划行，一船从A到B逆水而行，结果所用时间相同（假设水流速、行船速恒定，快船速是慢船速的2倍），则慢船速是水流速的几倍？（　）

A．3

B．2

C．1

D．4

3．一辆汽车第一天行驶了5个小时，第二天行驶了600千米，第三天比第一天少行驶200千米，三天共行驶了18个小时。已知第一天的平均速度与三天全程的平均速度相同，问三天共行驶了多少千米？（　）

A．900

B．800

C．1100

D．1000

4．小王登山，上山的速度是每小时4千米，到达山顶后原路返回，速度为每小时6千米，设山路长为9千米，小王的平均速度为（　）千米/小时。

A．5

B．4.8

C．4.6

D．4.4

5．甲和乙同住在一幢楼里，他们同时出发骑车去图书馆，又同时到达图书馆，但途中甲休息的时间是乙骑车时间的，而乙休息的时间是甲骑车时间的，甲和乙骑车的速度比是（　）。

A．

B．

C．

D．

6．一条客船往返于甲、乙两个沿海城市之间，由甲市到乙市是顺水航行，由乙市到甲市是逆水航行。已知船在静水中的速度是每小时25海里。由甲市到乙市用了8小时，由乙市到甲市所用的时间是由甲市到乙市所用时间的1.5倍，则甲乙两个城市相距多少海里？（　）

A．240

B．260

C．270

D．280

7．一列高铁列车A车长420米，另一列高铁列车B车长300米，在平行的轨道上相向而行，从两个车头相遇到车尾相离经过30秒。如果两车同向而行，列车B在前，列车A在后，从列车A车头遇到列车B车尾再到列车A车尾离开列车B车头经过120秒。

那么列车A的速度为（　）。

A．每小时54千米

B．每小时100千米

C．每小时200千米

D．每小时300千米

8．中午12点，甲驾驶汽车从A地到B地办事，行驶1小时，走了总路程的15%。此后甲的速度增加了15千米/小时，又行驶了30分钟后，距离B地还有的路程。此后甲的速度如果再增加15千米/小时，问几点能到B地？（　）

A．16:00

B．16:30

C．17:00

D．17:30

9．小林在距家1.5千米的工厂上班。一天，小林出发10分钟后，小林的父亲老林发现小林的手机没带，立即追出去，并在距离工厂500米的地方追上了他。如果老林追赶的速度比小林快6千米/小时，那么，下列关于小林速度x，求值所列方程正确的是（　）。

A．

B．

C．

D．

10．一条圆形跑道长500米，甲、乙两人从不同起点同时出发，均沿顺时针方向匀速跑步。已知甲跑了600米后第一次追上乙，此后甲加速20%继续前进，又跑了1200米后第二次追上乙。问甲出发后多少米第一次到达乙的出发点？（　）

A．100

B．120

C．150

D．180

（注：本专题题目答案及详解见第174页）

专题五 几何问题

考点·技法清单

几何问题包括几何计数、平面几何、立体几何、几何特性、几何边端等五种题型，具体解题技巧如下表所示：

基础过关自测

1．部队前哨站的雷达监测范围为100千米。某日前哨站侦测到正东偏北30°100千米处，一架可疑无人机正匀速向正西方向飞行。前哨站通知正南方向150千米处的部队立即向正北方向发射无人机拦截，匀速飞行一段时间后，正好在某点与可疑无人机相遇。问我方无人机速度是可疑无人机的多少倍？（　）

A．

B．

C．

D．

2．长方形ABCD的面积是72平方厘米，E、F分别是CD、BC的中点。问三角形AEF的面积为多少平方厘米？（　）

A．24

B．27

C．36

D．40

3．把一个半径为3厘米的金属小球放到半径为5厘米且装有水的圆柱形烧杯中。如全部浸入后水未溢出，则水面比未放入小球之前上升多少厘米？（　）

A．1.32

B．1.36

C．1.38

D．1.44

4．一位学生在距离热气球100米处观看它起飞。在热气球起飞后，学生注意到热气球顶部从他的仰角30°上升到45°，再从45°上升到60°的位置分别用了11秒和17秒。则前后两段时间热气球平均上升速度的比值约为（　）。

A．0.89

B．0.91

C．1.12

D．1.10

5．将一个白色正方体的任意2个面分别涂成绿色和红色，问能得到多少种不同的彩色正方体？（　）

A．2

B．4

C．6

D．8

6．A、B两个方形的蓄水池，池底面积为7∶5，A蓄水池水深5米，B蓄水池水深3米。往两个蓄水池注入同样多的水，使得两个蓄水池水深相等，这时水深多少米？（　）

A．10

B．15

C．20

D．25

7．已知一个长方体的长、宽、高分别为10分米、8分米和6分米，先从它上面切下一个最大的正方体，然后再从剩下的部分上切下一个最大的正方体。问切除这两个正方体后，最后剩下部分的体积是多少？（　）

A．212立方分米

B．200立方分米

C．194立方分米

D．186立方分米

8．游乐场的摩天轮半径为10米，匀速旋转一周需要2分钟。小浩坐在最底部的轿厢（距离地面0.1米），当摩天轮启动旋转40秒时小浩距离地面的高度是多少米？（　）

A．15

B．12.1

C．11

D．15.1

9．如图所示，街道ABC在B处拐弯，在街道一侧等距离安装路灯，要求A、B、C三处各装一盏路灯，这条街最少装多少盏路灯？（　）

A．18

B．19

C．20

D．21

10．某公园有一个周长为1千米的长方形花坛，计划在其周围每隔100米放置一个垃圾桶。现已将所需垃圾桶全部放在其中一个放置点（如图所示），接下来要用手推车将垃圾桶运到每一个放置点。假如该手推车每次最多能运3个垃圾桶，则将垃圾桶运到最后一个放置点时手推车行程最少为（　）米。

A．1600

B．1800

C．1900

D．2200

错题重点突破

1．在长581米的道路两侧植树，假设该路段仅两端有路口，要求在道路路口15米范围内最多植1棵树，并且相邻两棵树间的距离为4米，问最多植多少棵树？（　）

A．137

B．139

C．278

D．280

2．如图，正四面体ABCD，P、Q分别是棱AB、CD的三等分点和四等分点（AB=3AP=4CQ），棱AC上有一点M，要使M到P、Q距离之和最小，则MC∶MA=（　）。

A．1∶2

B．4∶5

C．3∶4

D．5∶6

3．如图所示，△ABC是直角三角形，四边形IBFD和四边形HFGE都是正方形，已知AI=1cm，IB=4cm，问正方形HFGE的面积是多少？（　）

A．

B．

C．

D．

4．某城市准备在公园里建一个矩形的花园，长比宽多40米，同时在花园周围建一条等宽的环路。路的外周长为280米，路的面积为1300平方米，则路的宽度为多少米？（　）

A．3

B．4

C．5

D．6

5．某电信公司推出两种手机收费方式：A种方式是月租20元，B种方式是月租0元。一个月的本地网内通话时间t（分钟）与电话费S（元）的函数关系如图所示，当通话150分钟时，这两种方式的电话费相差（　）。

A．10元

B．15元

C．20元

D．30元

6．将一个圆盘形零件匀速向下浸入水中。问以下哪个坐标图能准确反映浸入深度AO及圆盘与水面的接触部位长度CD之间的关系？（　）

7．一个长方体模型，所有棱长之和为72，长宽高的比是4∶3∶2，则体积是多少？（　）

A．72

B．192

C．128

D．96

8．一个箱子的底部由5块正方形纸板ABCDE和1块长方形纸板F拼接而成（如图所示），已知A、B两块纸板的面积比是1∶16，假设A纸板的边长为2厘米，则该箱子底部的面积为（　）平方厘米。

A．200

B．320

C．360

D．420

9．一个无盖长方体饮料盒如下图所示，其底面为正方形，高为23厘米，若插入一根足够细的不可弯折的吸管与底部接触，已知插入饮料盒内的吸管长度最大为27厘米，问饮料盒底面边长为多少厘米？（　）

A．

B．8

C．10

D．

10．因装修需要，拟在边长为2m的正方形浴室正中央处安装圆形淋浴喷头，喷头直径为10cm，出水喷射角度与垂直方向的最大夹角为30°。假设不考虑重力影响，要使喷头喷射到的面积能完全覆盖浴室，而且考虑施工实际，只有下列四个选项可选，则在满足设计要求的情况下，喷头底面距离地面可供选择的最低高度是多少？（　）

A．185cm

B．190cm

C．195cm

D．200cm

满分极限挑战

1．如图所示，正方形ABCD的边长是14厘米，其中，BE=CE=7厘米。如果点P以每秒2厘米的速度沿着边线CD从点C出发到点D，那么三角形AEP的面积将以每秒（　）平方厘米的速度增加。

A．7

B．8

C．9

D．10

2．某单位购买一批树苗计划在一段路两旁植树。若每隔5米种1棵树，可以覆盖整个路段，但这批树苗剩20棵。若每隔4米种1棵树且路尾最后两棵树之间的距离为3米，则这批树苗刚好可覆盖整个路段。这段路长为（　）。

A．195米

B．205米

C．375米

D．395米

3．有绿、白两种颜色且尺寸相同的正方形瓷砖共400块。将这些瓷砖铺在一块正方形的地面上：最外面的一周用绿色瓷砖铺，从外往里数的第二周用白色瓷砖铺，第三周用绿色瓷砖，第四周用白色瓷砖……这样依次交替铺下去，恰好将所有瓷砖用完。这块正方形地面上的绿色瓷砖共有（　）块。

A．180

B．196

C．210

D．220

4．将一块长24厘米、宽16厘米的木板分割成一个正方形和两个相同的圆形，其余部分弃去不用。在弃去不用的部分面积最小的情况下，圆的半径为多少厘米？（　）

A．

B．4

C．

D．8

5．太阳高度角是太阳光的入射方向和地平面之间的夹角。在正午时，太阳高度角为90°-|δ-φ|，φ为纬度，δ为太阳赤纬。已知小陈的身高为180厘米，他所在地的纬度为43°，当日太阳赤纬为13°。那么，在正午时他的影子长度约为（　）。

A．60厘米

B．90厘米

C．104厘米

D．208厘米

6．一菱形土地的面积为平方千米，菱形的最小角为60度。如果要将这一菱形土地向外扩张变成一正方形土地，问正方形土地边长最小为多少千米？（　）

A．6

B．5

C．

D．

E．

F．2

G．

H．

7．如图，在△ABC中，已知BD=2DC，EC=2AE，则△BFD与△AEF面积的比值为（　）。

A．4

B．6

C．8

D．9

8．一个人从山下沿30°角的坡路登上山顶，共走了300米，那么这座山的高度是多少米？（　）

A．100

B．150

C．200

D．250

9．从A地到B地的道路如图所示，所有转弯均为直角，问如果要以最短距离从A地到达B地，有多少种不同的走法可以选择？（　）

A．14

B．15

C．18

D．21

10．一个棱长为6的正方体木块，若在某一面挖出一个棱长为2×3×4的长方体空间，则剩下部分的体积是挖出的长方体体积的多少倍？（　）

A．5

B．6

C．8

D．9

（注：本专题题目答案及详解见第178页）

专题六 计数问题

考点·技法清单

计数问题包括容斥原理、排列组合、概率问题等三种题型，具体解题技巧如下表所示：

基础过关自测

1．有一排长椅总共有65个座位，其中已经有些座位上有人就座。现在又有一人准备找一个位置就座，但是此人发现，无论怎么选择座位，都会与已经就座的人相邻。问原来至少已经有多少人就座？（　）

A．13

B．17

C．22

D．33

2．某通信公司对3542个上网客户的上网方式进行调查，其中1258个客户使用手机上网，1852个客户使用有线网络上网，932个客户使用无线网络上网。如果使用不止一种上网方式的有352个客户，那么三种上网方式都使用的客户有多少个？（　）

A．148

B．248

C．350

D．500

3．有一批长度分别为3、4、5、6和7厘米的细木条，它们的数量足够多，从中适当选取3根木条作为三角形的三条边，可能围成多少个不同的三角形？（　）

A．25个

B．28个

C．30个

D．32个

4．某条道路一侧共有20盏路灯。为了节约用电，计划只打开其中的10盏。但为了不影响行路安全，要求相邻的两盏路灯中至少有一盏是打开的，则共有（　）种开灯方案。

A．2

B．6

C．11

D．13

5．10张卡片上分别写着从1到10的自然数，小王和小张分别从中抽出两张卡，并计算其中较大数字除以较小数字的结果。小王先抽，他抽到的卡片是3和9，小张在剩下的卡片中抽取，计算出的结果比小王计算的结果大的概率（　）。

A．小于20%

B．在20%到30%之间

C．在30%到40%之间

D．大于40%

6．小张和小王在同一个学校读研究生，每天早上从宿舍到学校有6:40、7:00、7:20和7:40发车的4班校车。某星期周一到周三，小张和小王都坐班车去学校，且每个人在3天中乘坐的班车发车时间都不同。问这3天小张和小王每天都乘坐同一趟班车的概率在（　）。

A．3%以下

B．3%—4%之间

C．4%—5%之间

D．5%以上

7．如图是空心圆有规律生成的一个树形图，由此可知，第10行的空心圆的个数是（　）。

A．34

B．21

C．13

D．8

8．某兴趣组有男女生各5名，他们都准备了表演节目。现在需要选出4名学生各自表演1个节目，这4人中既要有男生、也要有女生，且不能由男生连续表演节目。那么，不同的节目安排有多少种？（　）

A．3600

B．3000

C．2400

D．1200

9．将5个不同颜色的锦囊放入4个不同的锦盒里，如果允许锦盒是空的，则所有可能的放置方法有（　）。

A．种

B．45种

C．54种

D．种

10．有软件设计专业学生90人、市场营销专业学生80人、财务管理专业学生20人及人力资源管理专业学生16人参加求职招聘会，问至少有多少人找到工作就一定保证有30名找到工作的人专业相同？（　）

A．59

B．75

C．79

D．95

错题重点突破

1．四对情侣排成一队买演唱会门票，已知每对情侣必须排在一起，问共有多少种不同的排队顺序？（　）

A．24种

B．96种

C．384种

D．40320种

2．某办公室接到15份公文的处理任务，分配给甲、乙、丙三名工作人员处理。假如每名工作人员处理的公文份数不得少于3份，也不得多于10份，则共有（　）种分配方式。

A．15

B．18

C．21

D．28

3．甲乙两人相约骑共享单车运动健身。停车点现有9辆单车，分属3个品牌，各有2、3、4辆。假如两人选择每一辆单车的概率相同，两人选到同一品牌单车的概率约为（　）。

A．

B．

C．

D．

4．某次抽奖活动在三个箱子中均放有红、黄、绿、蓝、紫、橙、白、黑8种颜色的球各一个，奖励规则如下：从三个箱子中分别摸出一个球，摸出的3个球均为红球的得一等奖，摸出的3个球中至少有一个绿球的得二等奖，摸出的3个球均为彩色球（黑、白除外）的得三等奖。问不中奖的概率是多少？（　）

A．在0—25%之间

B．在25%—50%之间

C．在50%—75%之间

D．在75%—100%之间

5．一道多项选择题有A、B、C、D、E五个备选项，要求从中选出2个或2个以上的选项作为唯一正确的选项。如果全凭猜测，猜对这道题的概率是（　）。

A．

B．

C．

D．

6．非高峰时段，地铁每8分钟一班，在车站停靠1分钟，则乘客到达站台2分钟内能乘上地铁的概率为（　）。

A．

B．

C．

D．

7．某公司100名员工对甲、乙两名经理进行满意度评议，对甲满意的人数占全体参加评议的，对乙满意的人数比甲的人数多6人，对甲、乙都不满意的占都满意人数的还多2人，则对甲、乙都满意的人数是（　）。

A．36人

B．26人

C．48人

D．42人

8．建华中学共有1600名学生，其中喜欢乒乓球的有1180人，喜欢羽毛球的有1360人，喜欢篮球的有1250人，喜欢足球的有1040人，问以上四项球类运动都喜欢的至少有几人？（　）

A．20人

B．30人

C．40人

D．50人

9．一张节目表上原有3个节目，如果保持这3个节目的相对顺序不变，再添加进去2个新节目，有多少种安排方法？（　）

A．20

B．12

C．6

D．4

10．环保局某科室需要对四种水样进行检测，四种水样依次有5、3、2、4份，检测设备完成四种水样每一份的检测时间依次为8分钟、4分钟、6分钟、7分钟。已知该科室本日最多可使用检测设备38分钟，如今天之内要完成尽可能多数量样本的检测，问有多少种不同的检测组合方式？（　）

A．20

B．16

C．10

D．6

满分极限挑战

1．一位乒乓球学员手中拿着装有7只乒乓球的不透明口袋，其中3只黄球，4只白球。他随机取出一只乒乓球，观察颜色后放回袋中，同时放入2只与取出的球同色的球，这样连续取2次，则他取出的两只球中第1次取出的是白球，第2次取出的是黄球的概率是（　）。

A．

B．

C．

D．

2．某单位原有几十名职员，其中有14名女性。当两名女职员调出该单位后，女职员比重下降了3个百分点。现在该单位需要随机选派两名职员参加培训，问选派的两人都是女职员的概率在以下哪个范围内？（　）

A．小于1%

B．1%—4%

C．4%—7%

D．7%—10%

3．李木在某次考试中，课程甲和课程乙得178分，课程丙和课程丁得171分，课程乙和课程丙得174分，课程丁比课程甲高1分。问李木四门课程中哪门课程得分最高？（　）

A．课程甲

B．课程乙

C．课程丙

D．课程丁

4．有100名员工去年和今年均参加考核，考核结果分为优、良、中、差四个等次，今年考核结果为优的人数是去年的1.2倍，今年考核结果为良及以下的人员占比比去年低15个百分点。问两年考核结果均为优的人数至少为多少人？（　）

A．55

B．65

C．75

D．85

5．一批游客中每人都去了A、B两个景点中的至少一个。只去了A的游客和没去A的游客数量相当，且两者之和是两个景点都去了的人数的3倍。则只去一个景点的人数占游客总人数的比重为（　）。

A．

B．

C．

D．

6．6个人一起去旅游，在一景点前准备合影，由1人拍照，5人合照。已知他们身高各不相同，如果5人恰好按照中间最高、两边渐低来合影，则称之为标准合影。问这种标准合影的数量在以下哪个范围内？（　）

A．20种以下

B．20—40种

C．40—60种

D．60种以上

7．某单位有50人，男女性别比为3∶2，其中有15人未入党。如从中任选1人，则此人为男性党员的概率最大为多少？（　）

A．

B．

C．

D．

8．央视“出彩中国人”节目中有三位嘉宾为选手进行投票，获得1票以上者方可进入下一轮，则选手进入下一轮的概率为多少？（　）

A．

B．

C．

D．

9．扶贫干部某日需要走访村内6个贫困户甲、乙、丙、丁、戊和己。已知甲和乙的走访次序要相邻，丙要在丁之前走访，戊要在丙之前走访，己只能在第一个或最后一个走访。问走访顺序有多少种不同的安排方式？（　）

A．32

B．48

C．16

D．24

10．销售员小刘为客户准备了A、B、C三个方案。已知客户接受方案A的概率为40%。如果接受方案A，则接受方案B的概率为60%，反之为30%。客户如果A或B方案都不接受，则接受C方案的概率为90%，反之为10%，问将3个方案按照客户接受概率从高到低排列，以下正确的是（　）。

A．A＞B＞C

B．A＞C＞B

C．B＞C＞A

D．C＞B＞A

（注：本专题题目答案及详解见第184页）

专题七 方程与不等式

考点·技法清单

数学运算的大部分题型，都可以使用“方程法”来解答。其中，“盈亏问题”“鸡兔同笼问题”和“和差倍比问题”一般都应该使用“方程法”；除此之外，“费用问题”“浓度问题”“年龄问题”“行程问题”“等差数列”“平均数问题”“容斥问题”“工程问题”等题型当中的相当一部分试题也需要利用方程来求解。不等式是方程的一种延伸，方程研究等量关系，而不等式研究不等关系。不等关系是我们日常生活当中经常遇到的，通过不等关系，我们可以确定变量变化的范围及其最大最小值。方程与不等式常用解题技巧如下表所示：

基础过关自测

1．某次田径运动会中，选手参加各单项比赛计入所在团体总分的规则为：一等奖得9分，二等奖得5分，三等奖得2分。甲队共有10位选手参赛，均获奖。现知甲队最后总分为61分，问该队最多有几位选手获得一等奖？（　）

A．3

B．4

C．5

D．6

2．村干部小刘负责将村委会购买的一批煤分给村中的困难户，如果给每个困难户分300千克煤，则缺500千克；如果给每个困难户分250千克煤，则剩余250千克。为帮助困难户，村委会购买了多少煤？（　）

A．5500千克

B．5000千克

C．4500千克

D．4000千克

3．某单位每年生活用水占总用水量的。2010年通过行政、技术、经济等手段加强用水管理，调整用水结构，改进用水方式，科学、合理、有计划、有重点地用水，提高水的利用率，仅生活用水一项就节约了5000吨，减少了。问该单位2009年总用水量是多少？（　）

A．3.5万吨

B．3万吨

C．2.5万吨

D．2万吨

4．某市气象局观测发现，今年第一、二季度该市降水量分别比去年同期增加了11%和9%，而两个季度降水量的绝对增量刚好相同。那么今年上半年该市降水量同比增长多少？（　）

A．9.5%

B．10%

C．9.9%

D．10.5%

5．已知，A、B为自然数，且A≥B，那么A有几个不同的值？（　）

A．2

B．3

C．4

D．5

6．工程队接到一项工程，投入80台挖掘机。如连续施工30天，每天工作10小时，正好按期完成。但施工过程中遭遇大暴雨，有10天时间无法施工，工期还剩8天时，工程队增派70台挖掘机并加班施工。问工程队若想按期完成，平均每天需多工作多少个小时？（　）

A．2.5

B．3

C．1.5

D．2

7．某公司有29名销售员，负责公司产品在120个超市的销售工作。每个销售员最少负责3个超市，最多负责6个超市。负责4个超市的人最多但少于一半，而负责4个超市和负责5个超市的人总共负责的超市数为75个。问负责3个超市的人比负责6个超市的人多几个？（　）

A．2

B．3

C．6

D．9

8．某礼堂的观众座椅共96张，分东、南、西三个区域摆放。先从东区搬出与南区同样多的座椅放到南区，再从南区搬出与西区同样多的座椅放到西区，最后从西区搬出与东区剩下的座椅数量相同的座椅放到东区，这时三个区域的座椅数量相同。则最初南区的座椅有（　）张。

A．24

B．28

C．32

D．36

9．单位安排职工到会议室听报告。如果每3人坐一条长椅，那么剩下48人没有坐；如果每5人坐一条长椅，则刚好空出两条长椅。听报告的职工有多少人？（　）

A．128

B．135

C．146

D．152

10．林先生要将从故乡带回的一包泥土分成小包装送给占其朋友总数30%的老年朋友。在分包装过程中发现，如果每包200克，则缺少500克，如果每包150克，则多余250克。那么，林先生的朋友共有多少人？（　）

A．15

B．30

C．50

D．100

错题重点突破

1．某单位从理工大学、政法大学和财经大学总计招聘应届毕业生三百多人。其中从理工大学招聘人数是政法大学和财经大学之和的80%，从政法大学招聘的人数比财经大学多60%。问该单位至少再多招聘多少人，就能将从这三所大学招聘的应届生平均分配到7个部门？（　）

A．6

B．5

C．4

D．3

2．有七位考官对一位应聘者评分，如果去掉一个最高分和一个最低分，则平均分为7分；如果只去掉一个最高分，则平均分为6.75分；如果只去掉一个最低分，则平均分为7.25分。那么，这位应聘者所得的7个分数中，最高分与最低分的差值为（　）分。

A．1.5

B．2

C．3

D．3.5

3．甲与乙同时从A地出发匀速跑向B地，跑完全程分别用了3小时和4小时；下午4点时，甲正好位于乙和B地之间的中点上，问两人是下午什么时候出发的？（　）

A．1点24分

B．1点30分

C．1点36分

D．1点42分

4．某工厂有4条生产效率不同的生产线，甲、乙生产线效率之和等于丙、丁生产线效率之和。甲生产线月产量比乙生产线多240件，丙生产线月产量比丁生产线少160件。问乙生产线月产量与丙生产线月产量相比（　）。

A．乙少40件

B．丙少80件

C．乙少80件

D．丙少40件

5．编一本书的书页，用了270个数字（重复的也算，如页码115用了2个1和1个5共3个数字），问这本书一共多少页？（　）

A．117

B．126

C．127

D．189

6．某剧场A、B两间影视厅分别坐有观众43人和37人。如果将B厅的人往A厅调动，当A厅满座后，B厅内剩下的人数占B厅容量的。如果将A厅的人往B厅调动，当B厅满座后，A厅内剩下的人数占A厅容量的。问B厅能容纳多少人？（　）

A．56

B．54

C．64

D．60

7．有甲、乙、丙三个工作组，已知乙组2天的工作量与甲、丙共同工作1天的工作量相同。A工程如由甲、乙组共同工作3天，再由乙、丙组共同工作7天，正好完成。如果三组共同完成，需要整7天。B工程如丙组单独完成正好需要10天，问如由甲、乙组共同完成，需要多少天？（　）

A．不到6天

B．6天多

C．7天多

D．超过8天

8．某单位原拥有中级及以上职称的职工占职工总数的62.5%。现又有2名职工评上中级职称，之后该单位拥有中级及以上职称的人数占总人数的7/11。则该单位原来有多少名职称在中级以下的职工？（　）

A．68

B．66

C．64

D．60

9．某有色金属公司四种主要有色金属总产量的为铝，为铜，镍的产量是铜和铝产量之和的，而铅的产量比铝多600吨。问该公司镍的产量为多少吨？（　）

A．600

B．800

C．1000

D．1200

10．全班有48人，喜欢打乒乓球的30人，喜欢打羽毛球的25人，既喜欢打乒乓球又喜欢打羽毛球的至少有多少人？（　）

A．5

B．7

C．10

D．18

满分极限挑战

1．用混凝土铺设一条宽度为20米的马路，每两包水泥可以制造1立方米混凝土。使用现有的水泥，如果按照20厘米的混凝土厚度铺设马路，工程完成后剩余4600包水泥；如果按照50厘米的混凝土厚度铺设马路，就还缺5000包水泥。则这条马路长（　）米。

A．800

B．850

C．920

D．1000

2．甲、乙两辆卡车运输一批货物，其中甲车每次能运输35箱货物。甲车先满载运输2次后，乙车加入并与甲车共同满载运输10次完成任务，此时乙车比甲车多运输10箱货物。问如果乙车单独执行整个运输任务且每次都尽量装满，最后一次运多少箱货物？（　）

A．10

B．30

C．33

D．36

3．甲、乙、丙三个桶内都有油，如果把甲桶内1/3的油倒入乙桶，再把乙桶内1/4的油倒入丙桶，最后再把丙桶内1/7的油倒入甲桶，这时各桶内的油都是12升，则甲桶内原有（　）升油。

A．9

B．10

C．12

D．15

4．一桶水含桶共重20千克，第一次倒掉水量的，第二次倒掉剩余水量的，第三次倒掉剩余水量的，第四次倒掉剩余水量的，最终水和桶共重5.6千克，问桶的重量为多少千克？（　）

A．1.2

B．1.6

C．2

D．2.4

5．举办排球比赛，选男员工的和12名女员工，剩余男员工是剩余女员工的2倍，总员工人数156人，问：男员工有多少人？（　）

A．100

B．99

C．111

D．121

6．某公司举办年终晚宴，每桌安排7名普通员工与3名管理人员；到最后2桌时，由于管理人员已经安排完，便全部安排了普通员工，结果还差2人才能刚好坐满。已知该公司普通员工人数是管理人员的3倍，则该公司有管理人员（　）名。

A．24

B．27

C．33

D．36

7．某汽车租赁公司有200辆同型号的汽车，每辆车的日租金为100元时可全部租出；当每辆车的日租金增加5元时，未租出的汽车就会多4辆，租出的车每天需要维护费20元。每辆车的日租金为多少时，租赁公司的日收益最大？（　）

A．155元

B．165元

C．175元

D．185元

8．光明小学体育馆保管室的篮球和排球共30个，其比例为7∶3，现购入排球x个后，排球占总数的40%，那么x=（　）。

A．5

B．7

C．10

D．12

9．某科考队在南极需要运输30余箱物资。现有雪地车和雪橇两种运输工具，雪地车一次可以运送7箱物资，需要2人操作；雪橇一次可以运送3箱物资，需要1人操作。若全部物资使用雪地车运送则剩余1名队员，若全部物资使用雪橇运送则缺少1名队员。最终，科考队采用了一种组合办法，使运输工具恰好满载，人员恰好分配完。则共有物资多少箱？（　）

A．31

B．34

C．36

D．37

10．从一个装有水的水池中向外排水，规定每周二、四、六每天排出剩余水量的，其余日期每天排出剩余水量的。如此连续操作6天后，水池中尚余相当于总容量的水。问最开始时水池中的水量最多相当于总容量的（　）。

A．

B．

C．

D．

（注：本专题题目答案及详解见第188页）

专题八 费用问题

考点·技法清单

费用问题指与“收入、成本、利润”相关的问题，其与实际生活结合紧密，考查方式比较灵活。费用问题的经典解题方法为列方程法，但很多题目可用数字特性法、设“1”法和逆向分析法等技巧解答。费用问题常用基本公式及题型分类如下表所示：

基础过关自测

1．某种糖果的进价为12元/千克，现购进这种糖果若干千克，每天销售10千克，且从第二天起每天都比前一天降价2元/千克。已知以6元/千克的价格销售的那天正好卖完最后10千克，且总销售额是总进货成本的2倍。问总共进了多少千克这种糖果？（　）

A．160

B．170

C．180

D．190

2．甲商店购入400件同款夏装。7月以进价的1.6倍出售，共售出200件；8月以进价的1.3倍出售，共售出100件；9月以进价的0.7倍将剩余的100件全部售出，总共获利15000元。问这批夏装的单件进价为多少元？（　）

A．120

B．100

C．144

D．125

3．某水果店新进一批时令水果，在运输过程中腐烂了，卸货时又损失了，剩下的水果当天全部售出，计算后发现还获利10%，则这批水果的售价是进价的（　）倍。

A．1.6

B．1.8

C．2

D．2.2

4．某超市销售“双层锅”和“三层锅”两种蒸锅套装，其中“双层锅”需要2层锅身和1个锅盖，“三层锅”需要3层锅身和1个锅盖，并且每卖一个“双层锅”获利20元，每卖一个“三层锅”获利30元，现有7层锅身和4个锅盖来组合“双层锅”和“三层锅”两种蒸锅套装，那么最大获利为（　）。

A．50元

B．60元

C．70元

D．80元

5．一个农贸市场2斤油可换5斤肉，7斤肉可换12斤鱼，10斤鱼可换21斤豆，那么27斤豆可换几斤油？（　）

A．3

B．4

C．5

D．6

6．股民甲和乙分别持有同一家公司的股票。如果乙将自己的10000股转给甲，则此时甲所持有该股票的份额是乙的3倍；如果甲将自己的1000股转给乙，则此时乙所持有该股票的份额比甲多6倍。那么，甲、乙二人共持有（　）股该公司股票。

A．6400

B．17600

C．17800

D．28800

7．加工300个零件，加工出一件合格品可得加工费50元，加工出一件不合格品不仅得不到加工费，还要赔偿100元。如果加工完毕共得14550元，则加工出合格品的件数是（　）。

A．294

B．295

C．296

D．297

8．服装批发市场有一款衣服标价100元/件。小王原计划购买60件这样的衣服，但他对店老板说：“如果你肯减价，每减价1元，我多订购10件。”老板算了一下，如果减价4%，由于小王多购，便可获得比原来多一半的总利润。则这一款衣服的成本是（　）元。

A．60

B．68

C．75

D．81

9．商店进了100件同样的衣服，售价定为进价的150%，卖了一段时间后价格下降20%继续销售，换季时剩下的衣服按照售价的一半处理，最后这批衣服盈利超过25%。如果处理的衣服不少于20件，问至少有多少件衣服是按照原售价卖出的？（　）

A．7件

B．14件

C．34件

D．47件

10．某房地产公司分别以80万人民币的相同价格出售两套房屋。一套房屋以盈利20%的价格出售，另一套房屋以盈利30%的价格出售。那么该房地产公司从中获利约为（　）。

A．31.5万元

B．31.6万元

C．31.7万元

D．31.8万元

错题重点突破

1．某景区门票定价为每位游客100元。节假日按团队人数采取以下优惠办法售票：10人及以下的团队按照原价售票，超过10人的团队，其中10人按原价售票，超过10人部分的游客按照8折售票。某导游在10月1日带团到该景点旅游，买门票花掉2600元，则该旅游团共有游客（　）。

A．15人

B．30人

C．25人

D．20人

2．小张到文具店采购办公用品，买了红、黑两种笔共66支。红笔定价为5元，黑笔的定价为9元，由于买的数量较多，商店给予优惠，红笔打八五折，黑笔打八折，最后支付的金额比原价少18%，那么他买了红笔（　）。

A．36支

B．34支

C．32支

D．30支

3．某商场的销售额3月份为25万元，5月份为36万元，如果每月增长率相同，则6月的销售额为（　）万元。

A．43.1

B．43.9

C．43.4

D．43.2

4．某次会议需要印制会议材料，参会人员共计300人，每人发放一份会议议程，每5人共用一份会议讨论资料，每间客房（每间住2人，无单人）发放一份本地出行提示。会议材料的印制价格如下，则印制会议材料一共需要花费（　）元。

A．3390

B．3875

C．4155

D．5430

5．玉米的正常市场价格为每千克1.86元到2.18元，近期某地玉米价格涨至每千克2.68元。经测算，向市场每投放储备玉米100吨，每千克玉米价格可下降0.05元。为稳定玉米价格，向该地投放储备玉米的数量不能超过（　）。

A．800吨

B．1080吨

C．1360吨

D．1640吨

6．商店本周从周一到周日出售A、B两种季节性商品，其中A商品每天销量相同，而B商品每天的销量都是前一天的一半。已知周五和周六，A、B两种商品的销量之和分别为220件和210件，问从周一到周日A商品总计比B商品多卖出多少件？（　）

A．570

B．635

C．690

D．765

7．某楼盘的地下停车位，第一次开盘时平均价格为15万元/个；第二次开盘时，车位的销售量增加了一倍、销售额增加了60%。那么，第二次开盘的车位平均价格为（　）。

A．10万元/个

B．11万元/个

C．12万元/个

D．13万元/个

8．某单位举办活动，需要制作8米长的横幅20条。用来制作横幅的原料有两种，一种每卷10米，售价10元；另一种每卷25米，售价23元。如果每卷原料截断后无法拼接，则该单位购买横幅原料最少需要花费（　）元。

A．146

B．158

C．161

D．200

9．某单位实行无纸化办公，本月比上个月少买了5包A4纸和6包B5纸，共节省了197元，已知每包A4纸的价格比B5纸的贵2元，并且本月用于购买A4纸和B5纸的费用相同（大于0元），那么该单位本月用于购买纸张的费用至少多少元？（　）

A．646

B．520

C．323

D．197

10．小张购买艺术品A，在其价格上涨x%后卖出盈利y元，用卖价的一半购买艺术品B，又在其价格上涨x%后卖出盈利z元，发现z＞y。则x的取值范围是（　）。

A．大于100

B．大于200

C．小于100

D．小于200

满分极限挑战

1．甲、乙、丙三村共建一项水利工程，原计划三村派出的劳动力之比为8∶5∶7，因丙村劳动力紧张，经协调，丙村少出的劳动力由甲、乙两村分担，相应的工钱由丙村承担。若甲、乙、丙三村派出的实际人数分别为84、52、24，丙村付给甲、乙两村的工钱共5.6万元，则丙村给甲村的工钱为（　）。

A．2.1万元

B．2.8万元

C．3.5万元

D．4.2万元

2．枣园每年产枣2500千克，每千克固定盈利18元。为了提高土地利用率，现决定明年在枣树下种植紫薯（产量最大为10000千克），每千克固定盈利3元。当紫薯产量大于400千克时，其产量每增加n千克将导致枣的产量下降0.2n千克。问该枣园明年最多可能盈利多少元？（　）

A．46176

B．46200

C．46260

D．46380

3．企业花费600万元升级生产线，升级后能耗费用降低了10%，人工成本降低了30%。如每天的产量不变，预计在400个工作日后收回成本。如果升级前人工成本为能耗费用的3倍，问升级后每天的人工成本比能耗费用高多少万元？（　）

A．1.8

B．2.4

C．1.2

D．1.5

4．某单位花费98元采购了一批型号分别为大、中、小的文件袋，它们的单价分别为4元、3元、2元。已知大号文件袋的数量是中号文件袋的一半，中号文件袋与大号文件袋加起来的数量比小号文件袋少一个。则该单位采购的大、中、小号文件袋共（　）个。

A．33

B．37

C．39

D．42

5．一名事业单位职工1978年参加工作时月工资总额是49.5元，2012年其年工资是1978年的112倍且每月还多11元，改革开放以来这名职工月工资增加了多少元？（　）

A．5050

B．5505.5

C．5545

D．5555.5

6．某水果店销售一批水果，按原价出售，利润率为25%。后来按原价的九折销售，结果每天的销量比降价前增加了1.5倍。则打折后每天销售这批水果的利润比打折前增加了（　）。

A．15%

B．20%

C．25%

D．30%

7．某书店开学前新进一批图书，原计划按40%的利润定价出售，售出80%图书之后，剩下的图书打折出售，结果所得利润比原计划少14%，则剩下的图书销售是按定价打了几折？（　）

A．7

B．8.5

C．8

D．7.5

8．小王在商店消费了90元，口袋里只有1张50元、4张20元、8张10元的钞票，他共有几种付款方式，可以使店家不用找零钱？（　）

A．5

B．6

C．7

D．8

9．某企业将利润提成作为奖金发放，利润低于或等于10万元时按5%提成；低于或等于20万元时，高于10万元部分按7.5%提成；高于20万元时，高于20万元的部分按10%提成。问当利润为40万元时，应发放奖金多少万元？（　）

A．2.5

B．2.75

C．3

D．3.25

10．某个项目由甲、乙两人共同投资，约定总利润10万元以内的部分甲得80%，10万元～20万元的部分甲得60%，20万元以上的部分乙得60%。最终乙分得的利润是甲的1.2倍。问如果总利润减半，甲分得的利润比乙（　）。

A．少1万元

B．少2万元

C．多1万元

D．多2万元

（注：本专题题目答案及详解见第191页）

专题九 最值问题

考点·技法清单

最值问题是数学运算中最能考查思维能力的题型之一，包括抽屉原理、构造设定及反向构造三类小题型。其中，抽屉原理题型相对固定，对最不利情形的构造是关键，在最不利情形数上加1即可推出答案；构造设定问题需要分类考虑；反向构造则需要从问题的反面来解决。最值问题的题型分类如下表所示：

基础过关自测

1．书法大赛的观众对5幅作品进行不记名投票。每张选票都可以选择5幅作品中的任意一幅或多幅，但只有在选择不超过2幅作品时才为有效票。5幅作品的得票数（不考虑是否有效）分别为总票数的69%、63%、44%、58%和56%。问本次投票的有效率最高可能为多少？（　）

A．65%

B．70%

C．75%

D．80%

2．如下图所示，幼儿园老师用边长为10cm的正八边形纸皮，裁去四个同样大小的等腰直角三角形，做成长方体包装盒。如果用该包装盒存放体积为8cm3的立方体积木（不得凸出包装盒外沿），那么，这个盒子最多可以放入多少块积木？（　）

A．75

B．80

C．85

D．90

3．某区要从10位候选人中投票选举人大代表，现规定每位选举人必须从这10位中任选两位投票。问至少要有多少位选举人参加投票，才能保证有不少于10位选举人投了相同两位候选人的票？（　）

A．382位

B．406位

C．451位

D．516位

4．某停车场每天8:00-24:00开放，在9:00-12:00和18:00—20:00时每分钟有2辆车进入，其余时间每分钟有1辆车进入；10:00—16:00每分钟有1辆车离开，16:00—22:00每2分钟有3辆车离开，22:00—24:00每分钟有3辆车离开，其余时间没有车离开，则该停车场需要至少（　）个停车位。

A．240

B．300

C．360

D．420

5．某单位有52人投票，从甲、乙、丙三人中选出一名先进工作者。在计票过程中的某时刻，甲得17票，乙得16票，丙得11票，如果规定得票比其他两人都多的候选人才能当选，那么甲要确保当选，最少要再得票（　）。

A．1张

B．2张

C．3张

D．4张

6．某机关20人参加百分制的普法考试，及格线为60分，20人的平均成绩为88分，及格率为95%。所有人得分均为整数，且彼此得分不同。问成绩排名第十的人最低考了多少分？（　）

A．89

B．88

C．91

D．90

7．钢筋原材料长7.2米，生产某构件用长2.8米的钢筋2根，长2.1米的钢筋3根，在生产若干构件时恰好将2.8米和2.1米的钢筋同时用光，在保证浪费最小的条件下使用钢筋原材料至少多少根？（　）

A．2

B．7

C．8

D．9

8．要把21棵桃树栽到街心公园里5处面积不同的草坪上，如果要求每块草坪必须有树且所栽棵数要依据面积大小各不相同，面积最大的草坪上至少要栽几棵？（　）

A．7

B．8

C．10

D．11

9．A和B两家企业2018年共申请专利300多项，其中A企业申请的专利中27%是发明专利，B企业申请的专利中，发明专利和非发明专利之比为8∶13。已知B企业申请的专利数量少于A企业，但申请的发明专利数量多于A企业。问两家企业总计最少申请非发明专利多少项？（　）

A．237

B．242

C．250

D．255

10．共有100个人参加某公司的招聘考试，考试的内容共有5道题，1—5题分别有80人、92人、86人、78人和74人答对。答对3道和3道以上的人员能通过考试，请问至少有多少人能通过这次考试？（　）

A．30

B．55

C．70

D．74

错题重点突破

1．有300名求职者参加高端人才专场招聘会，其中软件设计类、市场营销类、财务管理类和人力资源管理类分别有100、80、70和50人。问至少有多少人找到工作，才能保证一定有70名找到工作的人专业相同？（　）

A．71

B．119

C．258

D．277

2．5名学生参加某学科竞赛，共得91分，已知每人得分各不相同，且最高是21分，则最低分是（　）。

A．14

B．16

C．13

D．15

3．假设7个相异正整数的平均数是14，中位数是18，则此7个正整数中最大的数是多少？（　）

A．58

B．44

C．35

D．26

4．某市为了解决停车难问题，在如下图所示的一段55米的路段开辟斜列式停车位，每个车位为长6米、宽2.6米的矩形，矩形的宽与路边成30°角，则在这个路段最多可以划出多少个这样的停车位？（　）

A．16

B．17

C．18

D．19

5．有编号为1—13的卡片，每个编号有4张，共52张卡片。问至少摸出多少张，就可保证一定有3张卡片编号相连？（　）

A．27张

B．29张

C．33张

D．37张

6．某公司招聘了60名毕业生，现要将他们分配到7个部门，假设分到行政部门的人数比其他部门都少，则行政部门分得的毕业生人数最多是（　）人。

A．5

B．6

C．7

D．8

7．一个20人的班级举行百分制测验，平均分为79分，所有人得分都是整数且任意两人得分不同。班级前5名的平均分正好是第16到20名平均分的2倍。则班级第6名和第15名之间的分差最大为多少分？（　）

A．34

B．37

C．40

D．43

8．一架飞机所带燃料，最多用6小时；出发时顺风，每小时飞1500千米，飞回时逆风，每小时飞1200千米，此飞机最多飞出多少小时就需往回飞？（　）

A．

B．

C．3

D．

9．某集团有13个分公司，每个分公司的员工数均不超过50人。甲和乙两个分公司各招聘若干人后，员工人数分别达到76人和137人，且集团平均每个分公司的员工数增加了9人，问甲分公司和乙分公司在招聘前的员工数最多相差几人？（　）

A．4

B．3

C．2

D．1

10．一个读书小组共有赵、钱、孙、李、周、吴6位书友，现有6本书，书名分别是A、B、C、D、E、F。他们每人至少读过其中一本书，已知赵、钱、孙、李、周分别读过其中的2、2、4、3、5本书，图书A、B、C、D、E分别被小组的1、4、2、2、2位书友读过，问吴一定读过的书是哪本？（　）

A．书A

B．书B

C．书F

D．无法确定

满分极限挑战

1．调研人员在一次市场调查活动中收回了435份调查问卷，其中80%的调查问卷上填写了被调查者的手机号码。那么调研人员至少需要从这些调查表中随机抽出多少份，才能保证一定能找到两个手机号码后两位相同的被调查者？（　）

A．101

B．175

C．188

D．200

2．把一个正四面体的每个表面都分成9个相同的等边三角形。用任意颜色给这些小三角形上色，要求有公共边的小三角形颜色不同，问最多有多少个小三角形颜色相同？（　）

A．12

B．15

C．16

D．18

3．某工厂有100名工人报名参加了4项专业技能课程中的一项或多项，已知A课程与B课程不能同时报名参加。如果按照报名参加的课程对工人进行分组，将报名参加的课程完全一样的工人分到同一组中，则人数最多的组最少有多少人？（　）

A．5

B．6

C．7

D．8

E．9

F．10

G．11

H．12

4．某单位2011年招聘了65名毕业生，拟分配到该单位的7个不同部门。假设行政部门分得的毕业生人数比其他部门都多，问行政部门分得的毕业生人数至少为多少名？（　）

A．10

B．11

C．12

D．13

5．在一次抽奖活动中，要把18个奖品分成数量不等的4份各自放进不同的抽奖箱。则一个抽奖箱最多可以放（　）个奖品。

A．6

B．8

C．12

D．15

6．现有21本故事书要分给5个人阅读，如果每个人得到的数量均不相同，那么得到故事书数量最多的人至少可以得到（　）本。

A．5

B．7

C．9

D．11

7．某单位安排职工参加百分制业务知识考试，小周考了88分，还有另外2人的得分比他低。若所有人的得分都是整数，没有人得满分，且任意5人的得分不完全相同，问参加考试的最多有多少人？（　）

A．38

B．44

C．50

D．62

8．1分、2分和5分的硬币共100枚，价值2元，如果其中2分硬币的价值比1分硬币的价值多13分，那么三种硬币各多少枚？（　）

A．51、32、17

B．60、20、20

C．45、40、15

D．54、28、18

9．某人为一次会议录制视频，一共录制了3个视频，这三个视频的容量分别为2.2G、1.6G、1G，这三种视频分别要刻录20个、10个、10个，这些视频不能切割存储，问这个人至少要用多少个4.3G的光盘才能存储完毕？（　）

A．17

B．18

C．19

D．20

10．某软件公司对旗下甲、乙、丙、丁四款手机软件进行使用情况调查，在接受调查的1000人中，有68%的人使用过甲软件，有87%的人使用过乙软件，有75%的人使用过丙软件，有82%的人使用过丁软件。那么，在这1000人中，使用过全部四款手机软件的至少有（　）人。

A．120

B．250

C．380

D．430

（注：本专题题目答案及详解见第195页）

专题十 其他题型

考点·技法清单

其他题型指除了以上九大专题以外的部分，包括比赛问题、年龄问题、统筹问题、过河爬井问题、和差倍比问题和趣味推断问题等，具体解题技巧如下表所示：

基础过关自测

1．小张、小李和小王三人以擂台形式打乒乓球，每局2人对打，输的人下一局轮空。半天下来，小张共打了6局，小王共打了9局，而小李轮空了4局。那么，小李一共打了多少局？（　）

A．5局

B．7局

C．9局

D．11局

2．一只蚂蚁发现了一只死螳螂，立刻回洞找来10只蚂蚁搬，搬不动；然后每只蚂蚁回去各找10只蚂蚁，还是搬不动；每只蚂蚁又回去找来10个伙伴，终于把死螳螂拖回洞里，问共有多少只蚂蚁参加了搬运？（　）

A．1210

B．1257

C．1331

D．1441

3．5个人平均年龄是29，5个人中没有小于24的，那么年龄最大的人可能是多少岁？（　）

A．46

B．48

C．50

D．49

4．某单位举办趣味体育比赛，共组织了甲、乙、丙、丁4个队。比赛共5项，每项第一名得3分，第二名得2分，第三名得1分，第四名不得分。已知甲队获得了3次第一名，乙队获得3次第二名，那么得分最少的队的分数不可能超过（　）分。

A．5

B．6

C．7

D．8

5．1路、2路和3路公交车都是从8点开始经过A站后走相同的路线到达B站，之后分别是每30分钟、40分钟和50分钟就有1路、2路和3路车到达A站。在傍晚17点05分有位乘客在A站等候准备前往B站，他先等到几路车？（　）

A．1路

B．2路

C．3路

D．2路和3路

6．一项足球比赛共有8支队伍参加，每两支队伍之间需要踢两场比赛，获胜得3分，打平得1分，落败不得分。在该项足球比赛中，获得第一名的队伍积分最多可能比第二名多（　）分。

A．40

B．30

C．20

D．10

7．“红星”啤酒开展“7个空瓶换1瓶啤酒”的优惠促销活动。现在已知张先生在活动促销期间共喝掉347瓶“红星”啤酒，问张先生最少用钱买了多少瓶啤酒？（　）

A．296瓶

B．298瓶

C．300瓶

D．302瓶

8．有一种细菌，经过1分钟，分裂成2个，再过1分钟，变成4个，这样把一个细菌放在瓶子里到充满为止，用了2个小时。如果一开始时，将2个这种细菌放入瓶子里，那么充满瓶子要多长时间？（　）

A．30分钟

B．59分钟

C．119分钟

D．60分钟

9．四人年龄为相邻的自然数列且最年长者不超过30岁，四人年龄之乘积能被2700整除且不能被81整除。则四人中最年长者多少岁？（　）

A．30

B．29

C．28

D．27

10．某军训部队到打靶场进行射击训练，队员甲每次射击的命中率为50%，队员乙每次射击的命中率为80%，教练规定今天的训练规则是，每个队员射击直到未中一次靶则停止射击，则队员甲今天平均射击次数（　）。

A．2次

B．1.25次

C．2.5次

D．1.5次

错题重点突破

1．有一段公路如下图所示，在B路口处为三车道，到A路口处并为两车道，已知A路口处每条车道平均约5秒钟通过一辆车，若要在A路口处不造成拥堵，B路口处每条车道平均约（　）秒钟通过一辆车。

A．6.5

B．7

C．7.5

D．8

2．工厂要对一台已经拆成6个部件的机器进行清洗，并重新组装。清洗6个部件的时间分别为10分钟、15分钟、21分钟、8分钟、5分钟、26分钟，重新组装需要15分钟，假设清洗每一个部件或重新组装时都需要甲乙两人合作才能完成，报酬标准为每人每小时150元（不足一小时按一小时计），则工厂需要支付给甲乙两人共（　）元。

A．300

B．600

C．900

D．1200

3．某单位组织的羽毛球男单比赛共有48名选手报名参加，比赛采用淘汰赛制，在比赛中负一场的选手即被淘汰，直至决出最后的冠军。如每名选手每天最多参加一场比赛，则比赛至少需要举行几天？（　）

A．4

B．5

C．6

D．7

4．李大爷在马路边散步，路边均匀地栽着一行树，李大爷从第1棵树走到第15棵树共用了7分钟，李大爷又向前走了几棵树后就往回走，当他回到第5棵树时共用了30分钟。李大爷步行到第几棵树时就开始往回走？（　）。

A．32

B．35

C．34

D．33

5．因工作需要，有46个工作人员需要派到另外一个厂区，但只有一台运送车，每次最多能载5人（其中1人需开车），往返一次需5分钟。如果8点半开始出发，到8点57分时，至少还有（　）人还在当地等待运送。

A．16

B．21

C．26

D．30

6．张先生今年70岁，他有三个孙子。长孙20岁，次孙13岁，幼孙7岁。问多少年后，三个孙子年龄之和与祖父的年龄相同？（　）

A．10

B．15

C．18

D．20

7．公园里准备对300棵珍稀树木依次从1—300进行编号，问所有的编号中数字“1”一共会出现几次？（　）

A．148

B．152

C．156

D．160

8．某羽毛球赛共有23支队伍报名参赛，赛事安排23支队伍抽签两两争夺下一轮的出线权，没有抽到对手的队伍轮空，直接进入下一轮。那么，本次羽毛球赛最后共会遇到多少次轮空的情况？（　）

A．2

B．3

C．4

D．5

9．某社区组织开展知识竞赛，有5个家庭成功晋级决赛的抢答环节，抢答环节共5道题。计分方式如下：每个家庭有10分为基础分；若抢答到题目，答对一题得5分，答错一题扣2分；抢答不到题目不得分。那么，一个家庭在抢答环节有可能获得（　）种不同的分数。

A．18

B．21

C．25

D．36

10．袋中有24个球，除颜色黑白差别之外完全相同，从中摸出一球，若摸出白球的概率比黑球的概率大，则袋中有几个白球？（　）

A．8

B．10

C．12

D．14

满分极限挑战

1．有89吨货物要从甲地运往乙地。大卡车的载重量是7吨，小卡车的载重量是4吨，大卡车与小卡车的每次耗油量分别是14升、9升，如果使所派车辆运完货物耗油量最小，则最小耗油量是（　）。

A．141升

B．162升

C．181升

D．193升

2．甲和乙进行5局3胜的乒乓球比赛，甲每局获胜的概率是乙每局获胜概率的1.5倍。问以下哪种情况发生的概率最大？（　）

A．比赛在3局内结束

B．乙连胜3局获胜

C．甲获胜且两人均无连胜

D．乙用4局获胜

3．小李的弟弟比小李小2岁，小王的哥哥比小王大2岁、比小李大5岁。1994年，小李的弟弟和小王的年龄之和为15。问2014年小李与小王的年龄分别为多少岁？（　）

A．25、32

B．27、30

C．30、27

D．32、25

4．甲、乙两个蔬菜基地，分别向M、P、Q三个超市提供同品种蔬菜，按约共向M超市提供蔬菜45吨，向P超市提供蔬菜75吨，向Q超市提供蔬菜40吨。其中，甲基地可供60吨，乙基地可供100吨。甲、乙两基地与三个超市的距离如下表，运费为1元/千米·吨，则总运费最少将花费（　）元。

A．910

B．925

C．940

D．960

5．女儿今年的年龄是母亲年龄的，40年后女儿的年龄是母亲年龄的。问当女儿年龄是母亲年龄的时是公元多少年？（　）（注：“今年”为2013年）

A．2021

B．2022

C．2026

D．2029

6．园丁将若干同样大小的花盆在平地上摆放为不同的几何图形，发现如果增加5盆，就能摆成实心正三角形。如果减少4盆，就能摆成每边多于1个花盆的实心正方形。问将现有的花盆摆成实心矩形，最外层最少有多少盆花？（　）

A．22

B．24

C．26

D．28

7．李工程师家有4口人，母亲、妻子、儿子和他本人。2013年，4人的年龄和为152岁，平均年龄正好比李工程师的年龄小2岁，比妻子的年龄大2岁。若2007年时，妻子的年龄正好是儿子的6倍。问哪一年时，母亲的年龄是妻子年龄的2倍？（　）

A．2004

B．2006

C．2008

D．2010

8．四个连续奇数的和为32，则它们的积为多少？（　）

A．945

B．1875

C．2745

D．3465

9．有一枚棋子从棋盘的起点走到终点，每次只能从起点向终点方向走9格或者从终点向起点方向走7格，问该棋盘至少有多少格（起点和终点各算一格），才能保证从起点出发的棋子都能走到终点并返回起点？（　）

A．9

B．10

C．15

D．16

10．甲地有177吨货物要一起运到乙地，大卡车的载重量是5吨，小卡车的载重量是2吨，大小卡车从甲地到乙地的耗油量分别是10升和5升，则使用大小卡车将货物从甲地运到乙地最少要耗油多少升？（　）

A．442.5升

B．356升

C．355升

D．354升

（注：本专题题目答案及详解见第199页）