二、水平温差和浓度差引起的自然对流——格拉斯霍夫数

图3-7（a）、（b）表示了晶体生长系统中，水平温差引起的自然对流。图3-7（a）代表了利用水平正常凝固法、水平区熔法生长晶体时，坩埚中或熔区内的自然对流。图3-7（b）代表了直拉法、坩埚下降法、浮区区熔法生长晶体时，坩埚中或熔区中的自然对流。其共同特征是，这些自然对流都是由水平温差或径向温差所引起的。这些自然对流都可近似地简化为图3-7（c）所示的模型。现在我们先用解析的方法来分析模型中的自然对流。

我们已将问题简化为如图3-7（c）那样的热壁与冷壁间的液流问题。设热壁、冷壁间的间距为2b，其间的流体密度为ρ、动力黏滞系数为μ。坐标选取亦如图3-7（c）所示，在y＝-b处为热壁，其温度为T2，y＝+b处为冷壁，温度为T1。我们先求流体中的温场。如果假设热壁和冷壁在z方向很长，则温场又可进一步简化为一维温场，即温度只是y的函数。于是热传输方程（1-25）可简化为

其边值条件为

满足上述微分方程及其边值条件的解为

其中ΔT=T2-T1，即水平温差。即平均温度。

我们再求其速度场。根据上述简化条件，流体动力学方程（3-2）简化为

将（3-24）式代入有

其边值条件为

vz＝0，在y=±b处

满足式（3-25）及其边值条件的解为

其中和。

现要求热壁、冷壁间沿z方向的净流量为零，即

将（3-26）式代入，得

故A=0，或。于是速度分布的最终表达式为

式（3-27）所描述的速度分布表示于图3-7（c）。

如果我们引入无量纲速度，无量纲线度，则有

其中GT为格拉斯霍夫数（Grashoff number），其表达式为

由式（3-28）可知，这种类型的自然对流中的无量纲速度场，完全是决定于格拉斯霍夫数。因而可将格拉斯霍夫数看为水平温差引起自然对流的驱动力。

通过对（3-29）式的量纲分析可以发现格拉斯霍夫数为无量纲数。

以上讨论的是等浓度系统中，水平温差引起的自然对流。现在我们讨论等温系统中，水平浓度差引起的自然对流。在以上讨论的全过程中，只需将水平温差ΔT替换为水平浓度差ΔC、将温度引起的体膨胀系数βT换为浓度引起的βC、将热扩散系数κ换为物质的扩散系数D，则我们得到的浓度场的表达式就和式（3-24）完全相似。我们同样定义格拉斯霍夫数GC为水平浓度差引起自然对流的驱动力

则无量纲速度场的表达式与（3-28）式相同。

因此水平温差和水平浓度差同样都引起如图3-7所示的自然对流，故我们用类似的格拉斯霍夫数来表征水平温差和水平浓度差引起的驱动力。