一、荷兰赌与赌博行为

想象你和我打算一起打个赌，我们赌一赌某件事情会不会发生。这个赌可能是：你喜欢的球星或球队是否会在下一场比赛中获胜，或者是更微不足道的事，比如你们国家的什么地方明天会不会下雨。我们继而就一个赌注S达成一致，这个赌注就是能够换手的钱的最大量。

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我将选择赌这个事件发生或者不发生。（注意，我在这里说“发生的事件”只是为了方便而已，它可以很容易地被翻译成“为真的陈述”。因此，我们可以把这个赌理解为涉及命题或者陈述。例如，赌曼联队会在下一场比赛中获胜，相当于赌“曼联队会在下一场比赛中获胜”这个陈述为真。）但是，在我做出选择之前，你打算挑选一个数字，一个赌商（betting quotient）b，并认为这个赌将按照如下方式进行：

1.如果我赌该事件不发生，那么你将付给我bS。如果该事件发生了，那么我将付给你S。

2.如果我赌该事件发生，那么你将付给我（1－b）S。如果该事件没有发生，那么我将付给你S。

选择b是为了确定这个赌的“赔率”，赔率通常被表达为一个比值，即b/（1－b）。例如，将b的值选择为二分之一，就是说该事件具有“成败均等的赔率”；如果你赌赢了，你的赌本将会翻倍，否则你就会赔掉赌本。（你可能会注意到，如果你将b的值选择为1，那么，如果赔率按照上述方式定义的话，它也就没有值了。我们将会看到，这一点设置是刻意安排的。）

我们也想安排这样的场景，以便在你看来你给出的赔率是公平的，因此我们应该增加很多要求才是。首先，关于我是想赌该事件发生还是赌该事件不发生，你不会拥有任何信息。假如你拥有这样的信息，你就可能会按照（你所认为的）有利于自己的方式去设计赔率了。想象一下，假如你知道我将赌掷骰子的结果是五点，而你认为一个五点的机会是六分之一。这样，你可能会选择一个赔率，比如成败均等的赔率（如上所述），让五点的机会看起来比六分之一大得多。然后，如果我胜了，我只会让我的钱翻倍，但你留住这笔钱的机会（chance）更大——事实上在你看来是六分之五。对你来说很好！对我来说很坏！要把这一点想清楚，只需想想如果我一直赌结果是五点，结果会怎么样。

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一个更自然的、根本不涉及机会的例子也能表明这一点。假想你是一个卖汽车的。如果我告诉你我想买某个具体类型的一辆车，你会给我报一个价钱。如果我告诉你我想卖一辆相同类型的车，你就会给我报一个不同的（较低的）价钱。因此，为了从你那里探知到你真正认为一辆车值多少钱，也就是公平的价钱是多少，我应该拒绝透露我是想买还是想卖。我应该只是给出你关于这辆车的信息，然后再问价钱。当我们询问赔率而不是货币价值时，情况同样是这样。方法是：具体说明事件是什么，并询问公平的赔率，而不是说打赌事件发生还是不发生。

第二，S应该是这样一个集合，它能让你觉得打这个赌是值得的。这里所说的“值得”，我的意思是，不会太高以至于你不愿失去它，也不至于太低以至于失去它你会不在乎。我猜对多数学生读者来说，5到20美元之间的某个数字是适当的。100美元太高了，1美分又太低了。如果你害怕失去这笔钱，你可以选择不公平的赔率，以免自己损失太多。（如果你让b是二分之一，那么最多你可能会失去S的一半。对b的任何其他选择都会让你损失更多。）如果你不在乎失去这笔钱，那就说明你不在乎选择一个公平的赔率。不存在任何动机促使你这样去做。

我们可能还会补充其他的限定。例如，你不应该去控制（或者影响）这个打赌事件是否发生。因为假如那样的话，如果我赌它不发生，你就可能会想方设法让它发生（或者增加它发生的可能性），而如果我赌它发生，你就可能会想法让它不发生（或者增加它不发生的可能性）。另外，我们还应该确保这个赌会在未来某个适当的时候结束，以便你不会变着法子把自己要拿出的钱最小化。如果你好好想想的话，你可能还会提出你认为重要的其他限定。但是，我们就不这么费事了。目前看来，我们要做的只是认识到这一点：当把这些细节搞清楚之后，安排这样一个打赌的场景会比它开始看上去的那样难得多。这个问题我们会回过头来再考虑。

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好了。我们现在就拥有了我们的打赌场景。现在让我们来考虑你该如何——或者更重要一点，你不应该如何——给b赋值。开始，让我们想象你给b赋予了一个大于1的值。现在，如果我赌该事件不发生，那么，无论发生什么我都会赢钱。这叫作对你打了一个荷兰赌（Dutch Book）。你将给我多于S的钱，而且最坏的情况下，我也只是不得不把S返还给你。因此我们可以得出结论说，b不应该大于1。（你可能难以理解如何解释不得不“支付”一个负值。直接的回答是，支付一个负的数量就意味着那个数量被支付；因此，说你会支付我－S，就是说我将支付你S。）

但是，如果你给b选择一个负值，那会怎么样呢？现在，我就只能通过赌这个事件发生而与你打一个荷兰赌。你将支付给我多于S的钱，而如果该事件不发生，我就只是被迫把S返还给你。由此我们能够得出结论说，b也不应该小于0。总之，到目前为止我们可以知道，在这些情形之下，对一个明智的——或者我们可以称之为“合理的”——赌来说，0≤b≤1。

还有更多情况。现在想象，你完全确信你正在赌的事情将会发生。为了论证方便，假令这个赌是关于某件愚蠢的事情，比如“地球上的某地明天或者会下雨或者不会下雨”。（逻辑上这不可能是假的：在同一天不可能既下雨又不下雨。）考虑在我们已经明确给定的限定之下，你应该给b选择什么值。如果你选择一个1之外的其他值，那么所有需要我去做的事就是赌这件事情发生，而且我保证会赢。你将支付给我（1－b）S，这会是一个正数。我将永远不会返还给你，因为该事件不发生是不可能的。但另一方面，如果你选择了1这个值，那么，如果我赌该事件发生，你不会付给我任何钱。于是你将会受到保护。于是我们可以得出结论说，当b涉及（我们可能称之为）“一个确定事件”时，b就应该等于1。（而且，如果b涉及一个陈述，那么当该陈述确定为真时，它就应该等于1。）

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尽管看上去这可能有点令人吃惊，但我们已经表明，b应该满足两条概率公理。（即附录A中的公理。）第一条公理说的是，任意概率都必须分布在0到1之间。第二条公理是说，确定的事件或者陈述的概率必须等于1。尽管为了做到这一点我们需要考虑一系列赌博，但我们将继续通过相同的形式推导剩下的概率公理。（如果你对完整细节感到好奇，可以去看《概率的哲学理论》中的讨论，参见Gillies 2000： 59—65。）