第一节 随机过程的概念

以如下两个实际水文过程为例引出随机过程的基本概念。

【例2-1】 某水文站每年由自记水位计连续记录每个时刻的水位形成每一年的瞬时水位过程。如果水文站以上流域影响水位的诸因素各年不变（或相对稳定），可把各年观测到的水位过程作为相同条件下进行随机试验的结果。一次（一年）试验的结果是时间t的某种函数（并非某一确定的函数），而且事先无法确切地进行预测。由于水位变化的随机性，每次（每年）试验的结果是不相同的。每年观测的水位过程将反映出水位与时间t的不同函数形式。显然，可以用观测到的一族水位与时间的函数来描述和研究多年水位变化过程（图2-1所示）。

图2-1 某水文站多年瞬时水位过程

【例2-2】 某水文站一年的日平均流量过程也为一次随机试验的结果，n年试验的结果就是n条日平均流量过程。一年试验的结果就是日平均流量随时间t变化的某种函数。由这一族函数就可以反映n年日平均流量过程的变化规律。

一般而言，在相同的试验条件下，独立地重复多次随机试验，每一次试验结果是时间t的某种函数，而且其函数形式各次不同，且事先无法确定。我们称这族随时间t变化的函数为随机函数。每次试验结果，即族中的某一个函数称为随机函数的一个现实（realization）或样本函数。可见，随机函数就是所有现实或样本函数的集合。

当随机函数随时间t连续地取有限区间内的值时，称之为随机过程。当随机函数随时间t取离散值时，则称为随机序列或时间序列（time series）。时间序列随时间变化是一些离散点（或柱状图），但为了方便，常常将离散点用线连接起来表示时间序列。

按照上述定义，【例2-1】中的年内瞬时水位过程是一个随机水文过程，特定年水位与时间t的函数就是随机过程的一个现实或一个样本函数，它是一个普通的函数。【例2-2】中的年内日平均流量过程是一个时间序列，特定年日平均流量与时间t的关系表示成一串普通数列。水文现象既受确定性因素影响，又受到随机性因素影响，它的观察值随时间t变化，是一个不确定的函数关系，因而水文过程是典型的随机过程，如金沙江石鼓站月平均流量序列（图2-2）。

图2-2 金沙江石鼓站月平均流量序列

一般，随机过程用X（t）表示，各个现实用x_i（t）（i=1，2，…）表示。随机序列用X_t（t=1，2，…） 表示，各个现实用x_it（i=1，2，…）表示。图2-1表示的是一个水位随机过程X（t），第i年观测的瞬时水位随时间t变化的函数即为第i个现实x_i（t）。图2-2表示的是一个月平均流量随机序列X_t（t=1，2，…，12），第i年观测的月平均流量随时间t变化的函数即为第i个现实x_it。

对于每一个固定时刻，如t=t₁，X（t₁）为一个随机变量。图2-1中的x₁（t₁），x₂（t₁），…，x_m（t₁）是随机变量X（t₁）在m次（年）试验中的取值。当t取不同值时，就有一串随机变量X（t₁），X（t₂），…。习惯上称随机变量X（t₁）是随机过程X（t）在时刻t=t₁的截口或称为随机过程在t=t₁时的状态（state）。因而，随机过程是由随机变量X（t₁），X（t₂），…所构成的。或者说，随机过程X（t）是依赖于时间t的一族随机变量。

必须说明的是：①随机过程X（t）或时间序列X_t中的t通常表示时间，但也可以表示空间、长度等其他非时间变量；②随机过程和时间序列在许多方面存在相互平行的理论，但两者不完全相同，在实际工作中有时没有加以严格区分；③不管是随机过程还是时间序列，它的一个显著特征是观测值前后的相依性，因此，数据的时间顺序十分重要；④一个随机变量X与它的一个样本值x，两者是不同意义的量。前者是对某一具体的随机现象（或随机试验结果）的总称，后者仅是对这个随机现象所取得的一个观测值（或试验值）。随机过程X（t）是对随机试验得到的所有试验结果随时间t变化的函数总称；样本函数x_i（t）则是随机试验的某一具休的观测值随时间t而变化的函数。对任意固定t，随机试验的观测值，即为随机变量取得的一个观测值（应用时各种符号并不严格加以区分）。