第五节 平稳随机过程

平稳随机过程在水文水资源分析计算中最为常用。

一、平稳随机过程的概念

一个随机过程X（t），若对任何n与k，X（t）的n维分布函数满足

则X（t）被称为平稳随机过程（简称平稳过程），否则被称为非平稳随机过程。

从式（2-16）可以看出，平稳随机过程的n维分布函数不因所选开始时刻的改变而不同，即平稳随机过程的统计特性与所选取的时间起点无关。也就是说，平稳随机过程的统计特性不随时间t的变化而改变。例如，在河流同一断面上，利用1900年开始的相当长的年径流系列计算得到的年径流量n维分布函数与利用任一年（如1913年）开始的相当长的年径流系列计算得出的n维分布函数是相等的。这种现象的解释是：若产生随机过程的主要物理条件在时间进程中没有变化，则该随机过程的统计特性也不会随时间而变化。如果产生年径流的气候条件与下垫面条件都没有重大变化，则年径流的统计特性也不会随时间而变化，因而不同开始时刻的年径流n维分布函数也不会有变化。由于平稳随机过程的这个特点，可使问题的分析计算大为简化。它具有一系列简单的特性，因而这类随机过程在实际工作中得到了广泛应用。

二、平稳随机过程的数字特征

平稳过程的数字特征具有以下特点。

1.均值平稳

根据平稳过程的定义，当n=1时，对任意τ有

当τ=-t时，则有

同样有

即平稳过程X（t）的一维分布函数及一维概率密度都与时间t无关。那么

从式（2-19）看出，平稳随机过程X（t）的均值函数与时间t无关，即其均值函数μ为常数。也就是说，平稳随机过程的均值平稳，又称一阶平稳。

2.方差平稳

由前面有

因此，平稳随机过程X（t）的方差函数σ²是常数，不随时间t而变，称为方差平稳或二阶平稳。当然，标准差也是平稳的。

3.偏态系数平稳

可见，平稳随机过程X（t）的偏态系数是常数，不随时间t而变，称为偏态系数平稳。

4.协方差平稳

根据平稳过程的定义，当n=2时，对任意k有

令k=-t₁，t₂-t₁=τ（时间间隔），则

可见，平稳过程的二维分布函数与具体时间位置无关，只与时间间隔τ（又称滞时）有关。自协方差函数为

因此，平稳随机过程X（t）的自协方差函数只与时间间隔τ有关，称为自协方差平稳，它属于二阶平稳范畴。

5.自相关函数平稳

式（2-24）说明平稳过程的自相关函数与具体时间位置无关，只与时间间隔τ有关，即平稳随机过程的自相关函数平稳。

现用表2-2进一步说明。在某河流断面上，年径流量的总体若以n年为一组，客观上存在着多组样本（N组）。所有可能出现的样本x₁（t），x₂（t），x₃（t），…的集合构成了随机过程X（t）。对于特定的时间t₁，X₁=X（t₁）是一个随机变量。同样，X₂=X（t₂），X₃=X（t₃），…，X_n=X（t_n）都是随机变量。计算随机过程的数字特征，见表2-2最后几行。

若X（t）是平稳随机过程，则μ₁=μ₂=…=μ_n，D₁=D₂=…=D_n，协方差Cov（t_i，t_j）、自相关系数ρ（t_i，t_j）只与时间间隔t_j-t_i有关。而表2-1的月平均流量序列的数字特征随截口（月份）变化，表明月平均流量序列是非平稳过程。

三、平稳随机过程的分类

平稳随机过程可分为两类，一是严平稳随机过程，即满足定义［式（2-16）］的平稳随机过程，又称狭义平稳过程或高阶平稳过程，这样的平稳过程在现实中是没有的；二是宽平稳随机过程，即均值和协方差平稳的过程，也称广义平稳过程或二阶平稳过程。在现实世界中宽平稳过程还是存在的，一般平稳过程如没加特别指明外都是指宽平稳过程。在水文水资源系统中，当影响它的主要因素（气候、下垫面及人类活动等）相对稳定时，以年为时间尺度的水文序列可近似作为平稳随机序列，如年降水量序列、年径流序列、年蒸发量序列等。

这里以水流脉动现象为例进一步给予说明。见表2-3，在某河流某断面上定点连续观测了N次，每次观测n分钟（N和n都比较大）。设整个观测期内水流条件基本不变。从表2-3可以看出，各截口的均值和均方差都没有显著性差异，各截口时间间隔τ=1、2的自相关系数ρ（1）、ρ（2）都很小，与0无显著差异。可见，水流脉动现象为一宽平稳过程。

四、平稳随机过程的各态历经性

前述的各截口数字特征是通过大量的样本函数计算而得的。这样计算的数字特征能真实反映随机过程的统计特性。

在水文学中，往往难以获取大量的样本函数x₁（t），x₂（t），x₃（t），…，如以年为时间尺度的水文序列（年径流序列、年降水量序列等），而实际上仅仅有其中一个样本函数如x₁（t）。在这种情况下，能否用一个样本函数来分析随机过程的统计特性呢？

1.各态历经性

理论证明，在一定条件下，平稳随机过程的一个相当长的样本资料（一个现实）可以用来分析计算平稳随机过程的统计特性。这样的随机过程被称为具备各态历经性或遍历性，并称为各态历经过程。

平稳过程各态历经性或遍历性，可以理解为在样本容量很大的情况下，各个样本函数都同样经历了平稳过程的各种可能状态，或者说每一个样本函数能够代表过程的所有可能样本函数，因而任何一个样本函数都可以代表平稳过程的统计特性，则可由任何一个样本函数估计平稳过程的统计特征。图2-4给出的平稳过程就具有各态历经性。若任选一个现实并把它的观测时间延长，则它就能很好地代表平稳过程X₁（t）。

图2-4 各态历经平稳过程

图2-5 非各态历经平稳过程

下面以水流脉动现象为例进行说明。表2-4右边统计参数是由各样本函数分别估计出来的。从表2-4中任取一个现实，如第4个现实，得均值为0.859、均方差为0.268，这和各截口的均值和均方差甚为接近，统计上没有区别，也就是说，它们是相等的，即可以用一个现实的统计参数代替随机过程的统计参数。从前面知，水流脉动过程是平稳过程。因此，这个实例印证了上述结论。显然，非平稳随机过程不具备这样的性质。

需要说明的是，并不是所有的平稳随机过程都具备各态历经性，如图2-5所示，任选一个现实并把它的观测时间延长，它都无法代表平稳过程X₂（t）。对于水文水资源系统而言，一般常常假定平稳随机过程具有各态历经性。

2.基于时间域的数字特征计算

设平稳随机过程X（t）的任意一个样本函数x（t）（0≤t≤T），其数字特征计算如下。

（1） 均值。

若为离散序列x₁，x₂，…，x_n时，则

根据平稳过程的各态历经性，当T或n足够长时，。

（2） 方差。

当T或n足够长时，。

（3） 偏态系数。

当t或n足够长时， C_s*=C_s。

（4） 自协方差。

当T或n足够长时，Cov_*（τ）= Cov（τ）。

（5） 自相关系数。

当T或n足够长时，ρ_*（τ）=ρ（τ）。

这样计算出来的数字特征，称为时间平均。对于平稳过程，当T或n足够长时，时间平均等于统计平均。