![机电设备状态监测与预测](https://wfqqreader-1252317822.image.myqcloud.com/cover/902/41806902/b_41806902.jpg)
2.2 振动信号
2.2.1 振动信号分类
由传感器获取的信号波形是指被测得信号的幅度随时间的变化历程。从信号描述上来看,可以用明确数学关系式描述的信号称为确定性信号,不能用数学关系式描述的信号称为非确定性信号;从信号的幅值和能量上分为能量信号与功率信号;从连续性上分为连续时间信号与离散时间信号。
(1)确定性信号与非确定性信号
如图2-11所示,确定性信号可分为周期信号和非周期信号,周期信号也可分为简单周期信号和复杂周期信号,而非周期信号也可以分为准周期信号和瞬态信号;非确定性信号主要包括平稳随机信号和非平稳随机信号两种。
![](https://epubservercos.yuewen.com/B0B314/21838929508260306/epubprivate/OEBPS/Images/Figure-P26_26383.jpg?sign=1739174514-oGYfMN9HAvpsinShUEBUQVoRKOIZKOM1-0-6c23a46817f24e8b429e0f9dbef25331)
图2-11 信号的分类
①周期信号。经过一定时间可以重复出现的信号,如图2-12所示,数学式可表达为:x(t)=x(t+nT)。
![](https://epubservercos.yuewen.com/B0B314/21838929508260306/epubprivate/OEBPS/Images/Figure-P27_26386.jpg?sign=1739174514-DeLE7PssoUdWnrvhLBYCP31sXeMywlT9-0-12cf0727785fbd77c1cdc3b5c24406d8)
图2-12 周期信号
②非周期信号。在信号中,没有重复出现的信号,从时间轴上监测不到信号的周期性变化,如图2-13所示。
![](https://epubservercos.yuewen.com/B0B314/21838929508260306/epubprivate/OEBPS/Images/Figure-P27_26387.jpg?sign=1739174514-6kzWYWwUcR8hwhFHd6nKNDPMFJN7hzGt-0-c6264cbd453e4e71f553368e3ae67b4a)
图2-13 非周期信号
此类信号的分类中,存在一种称之为准周期信号的信号,此类信号是由多个周期信号合成,但各信号的频率却不成公倍数。如,如图2-14所示。
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图2-14 准周期信号
此类信号的分类中,还存在一种称之为瞬态信号的信号,此类信号是持续时间有限的信号,如x(t)=e-BtAsin(2πft),如图2-15所示。
![](https://epubservercos.yuewen.com/B0B314/21838929508260306/epubprivate/OEBPS/Images/Figure-P28_26391.jpg?sign=1739174514-jufyXSKF97SOnLkkRyGNsE2mMjNA4be5-0-81e6b90e93d45e0ff7671b033a6371c7)
图2-15 瞬态信号
③非确定性信号。不能用数学式描述,其幅值、相位变化不可预知,所描述物理现象是一种随机过程。如噪声信号,如图2-16和图2-17所示。
![](https://epubservercos.yuewen.com/B0B314/21838929508260306/epubprivate/OEBPS/Images/Figure-P28_26392.jpg?sign=1739174514-kQpTlLrrvn1p8wUncIvhOfHj1Tcam3mA-0-1bc7a71667c2c7176c1a9fb2a58bf37b)
图2-16 噪声信号(平稳)
![](https://epubservercos.yuewen.com/B0B314/21838929508260306/epubprivate/OEBPS/Images/Figure-P28_26393.jpg?sign=1739174514-GAcKvoU0FGktalbGEgwgAPFPqa1o0gfp-0-0e0e3bd8cce4656790f41721b9a129be)
图2-17 噪声信号(非平稳)
(2)能量信号与功率信号
①能量信号。在所分析的区间(-∞,+∞),能量为有限值的信号称为能量信号,满足条件:
(2-5)
一般持续时间有限的瞬态信号是能量信号。
②功率信号。在所分析的区间(-∞,+∞),能量不是有限值。此时,研究信号的平均功率更为合适。
(2-6)
一般持续时间无限的信号都属于功率信号。
(3)时域有限与频域有限信号
①时域有限信号。在时间段(t1,t2)内有定义,其外恒等于零。如图2-18所示三角脉冲信号。
![](https://epubservercos.yuewen.com/B0B314/21838929508260306/epubprivate/OEBPS/Images/Figure-P29_26407.jpg?sign=1739174514-7p2wwCuqGcHgVuY53QWqbLajJtkiYmhI-0-58b2a9b0c0422d059efb79c54f6de8de)
图2-18 三角脉冲信号
②频域有限信号。在频率区间(f1,f2)内有定义,其外恒等于零。如图2-19所示正弦波幅值谱。
![](https://epubservercos.yuewen.com/B0B314/21838929508260306/epubprivate/OEBPS/Images/Figure-P29_26408.jpg?sign=1739174514-VTOCq3q5Yj1r56m4AeB2jpKA7p6LYI8T-0-4b03a03f4a1ce197d07f697b1a0d2950)
图2-19 正弦波幅值谱
(4)连续时间信号与离散时间信号
①如图2-20所示为连续时间信号:在所有时间点上有定义。
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图2-20 连续时间信号
②如图2-21所示为离散时间信号:在若干时间点上有定义。
![](https://epubservercos.yuewen.com/B0B314/21838929508260306/epubprivate/OEBPS/Images/Figure-P29_26410.jpg?sign=1739174514-sF3h2y0vnkJF3qd8AEBWIgW1dC9sBT68-0-da0a0ba91a32512f2ae6824993dbf2e9)
图2-21 离散时间信号
2.2.2 信号分析与处理方法
信号分析与处理方法概述见表2-1。
表2-1 信号分析与处理方法概述
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时域分析与频域分析示意图如图2-22所示。
![](https://epubservercos.yuewen.com/B0B314/21838929508260306/epubprivate/OEBPS/Images/Figure-P30_2806.jpg?sign=1739174514-FLrUs2Kh2DFLG7n7KDkIHCXSMKvxLnZ4-0-f78593d83740f3e6349f69e8f8f425bb)
图2-22 时域分析与频域分析图
信号频谱X(f)代表了信号在不同频率分量成分的大小,有时能够提供比时域信号波形更直观、丰富的信息。
2.2.2.1 时域分析
(1)时域分析运算
卷积积分:
(2-7)
式中,x(t)为输入信号;h(t)为系统响应信号;t为观察的时间,τ为激励产生的时刻;t-τ为经过多少次衰减能到达观察的时刻。
卷积和:
(2-8)
卷积运算满足交换率、分配率和结合率。两函数卷积的微积分等于两函数中一个函数微积分后的卷积。
x(t)*δ(t-t0)=x(t-t0) (2-9)
时域分析只能反映信号的幅值随时间的变化情况,除单频率分量的简谐波外,很难明确揭示信号的频率组成和各频率分量大小。
如图2-23所示为受噪声干扰的多频率成分信号。
![](https://epubservercos.yuewen.com/B0B314/21838929508260306/epubprivate/OEBPS/Images/Figure-P30_26427.jpg?sign=1739174514-Sy2Fa90Q9k17e91akoqiZASGeYoL4REk-0-73ebb27519ed09e3156ec96942217511)
图2-23 受噪声干扰的多频率成分信号
(2)信号的波形变换
信号为x(t)[图2-24(a)];用-t代替t,x(t)波形绕纵轴翻转180°[图2-24(b)];用(t-t0)代替t,x(t)波形沿横轴右移t0[图2-24(c)];用(at)代替t,x(t)波形以原点为中心,在宽度方向上变为原来的1/a[图2-24(d)]。
![](https://epubservercos.yuewen.com/B0B314/21838929508260306/epubprivate/OEBPS/Images/Figure-P31_26435.jpg?sign=1739174514-Cob1ZQEZkL6nNC53QeEZ1a3VvxVelG2b-0-a7cef670a2b419eae3e339aded738e64)
图2-24 信号的波形变换图
(3)信号的时域统计参数
①均值(反映直流分量)
(2-10)
式中 x(t)——信号的样本记录;
T——样本记录时间。
工程实际用估计值(采用直流电压表实现):
(2-11)
②方差(反映交流分量)
(2-12)
反映了信号对均值的分散程度,其正平方根成为标准差。工程实际用估计值:
(2-13)
③均方值(反映信号的强度或平均功率)
(2-14)
其正平方根称为有效值,工程实际用估计值(采用均方电压表实现):
(2-15)
(2-16)
④概率密度函数 表示信号瞬时值落在某指定区间内的概率,如图2-25所示。
![](https://epubservercos.yuewen.com/B0B314/21838929508260306/epubprivate/OEBPS/Images/Figure-P31_26445.jpg?sign=1739174514-oqYHrZE1ccMOaC0KCAgsUGxWnBQTAPUu-0-c2aa6c580eed2d48f0ea6830d5e4330b)
图2-25 概率密度函数图
(2-17)
(2-18)
式中 Tx——样本函数瞬时值落在区间(x+Δx)的时间。
概率密度函数反映了随机信号幅值分布规律。用概率密度分析仪实现对随机信号的概率密度分析。其估计值为:
(2-19)
四种典型信号的概率密度函数图如图2-26所示。
![](https://epubservercos.yuewen.com/B0B314/21838929508260306/epubprivate/OEBPS/Images/Figure-P32_26483.jpg?sign=1739174514-yFxX124th2O7zd8tgKTF7e0WZBeFg08v-0-03f064e80b459f8647f5ab227227b887)
图2-26 四种典型信号的概率密度函数图
(4)信号的相关分析
①变量相关的概念 变量相关是指变量间的线性关系。统计学中用相关系数来描述变量x、y之间的相关性,如图2-27所示,是两个随机变量之积的数学期望,表征了x、y之间的关联程度。
![](https://epubservercos.yuewen.com/B0B314/21838929508260306/epubprivate/OEBPS/Images/Figure-P32_26484.jpg?sign=1739174514-WslKUCDel54FEFZBiDhWzQ5cJlMbd6DR-0-3215cd5e20226dac7cc7a6598b3959c2)
图2-27 变量间的相关性
(2-20)
式中 ρxy——随机度量x、y波动量之积的数学期望;
μx,μy——变量x和变量y的均值;
E——x和y的数学期望;
σx——x的均方差(标准差);
σy——y的均方差(标准差)。
②波形相关的概念(相关函数) 如果所研究的变量x、y是与时间有关的函数,则如图2-28所示,即x(t)与y(t)。
![](https://epubservercos.yuewen.com/B0B314/21838929508260306/epubprivate/OEBPS/Images/Figure-P32_26487.jpg?sign=1739174514-IP3gXqKRPxkzWsYiOqW8UcfxjOfUtkub-0-be8b6681d891fdbac4178a726d1b2471)
图2-28 x(t)与y(t)
这时可以引入一个与时间τ有关的量,称为相关函数,并有估计值:
(2-21)
相关函数反映了两个信号在时移中的相关性。当y(t)=x(t)时为自相关函数,其估计值为:
(2-22)
四种典型信号的自相关函数图如图2-29所示。
![](https://epubservercos.yuewen.com/B0B314/21838929508260306/epubprivate/OEBPS/Images/Figure-P33_26509.jpg?sign=1739174514-bEbwQQ606MdAUKfbuKXos19dNAupoMdO-0-ce5e5625175478277bb0547b9366f572)
图2-29 四种典型信号的自相关函数图
③相关函数的性质 相关函数描述了两个信号间或信号自身不同时刻的相似程度,通过相关分析可以发现信号中许多的规律。
a. 自相关函数是τ的实偶函数,Rx(τ)=Rx(-τ)。
b. 当τ=0时,自相关函数具有最大值。
c. 周期信号的自相关函数仍然是同频率的周期信号,但不保留原信号的相位信息。
d. 随机噪声信号的自相关函数将随τ的增大快速衰减。
e. 两周期信号的互相关函数仍然是同频率的周期信号,且保留原来信号的相位信息。
f. 两个非同频率的周期信号互不相关。
④功率谱密度函数 自相关函数的傅里叶变换称为自功率谱密度函数或自谱。互相关函数的FT称为互功率密度函数或互谱。
(2-23)
(2-24)
2.2.2.2 频域分析
(1)周期信号及其频谱
周期信号指经过一定时间可以重复出现的信号。
若信号x(t)在所有时间内均满足:
x(t)=x(t+nT)
式中,n为任意整数;T为正的常数。
则信号x(t)为周期信号,T为周期。系列周期值中的最大公约数为基本周期。
例如:sin(ωt)=sin(ωt+2πn);sin(ωt)(基波);sin(2ωt),sin(3ωt)……(谐波信号)。
周期信号的傅里叶级数的表达形式:
(2-25)
变形为:
(2-26)
式中,
式中 T——周期,T=2π/ω0;
ω0——基波圆频率;f0=ω0/2π。
周期信号可以表示成无穷个正弦及余弦函数之和,周期性矩形波的傅里叶级数表示:
(2-27)
如图2-30所示为周期性矩形波,图2-31为周期性矩形波的频谱。
![](https://epubservercos.yuewen.com/B0B314/21838929508260306/epubprivate/OEBPS/Images/Figure-P34_26544.jpg?sign=1739174514-yyxl8TByyDJVj28YizilMEqmm5hMvLOo-0-18c995b760d292ce490d2df243eacd47)
图2-30 周期性矩形波
![](https://epubservercos.yuewen.com/B0B314/21838929508260306/epubprivate/OEBPS/Images/Figure-P34_26545.jpg?sign=1739174514-i0hU1xDBH7F43yFRVGMiRxRjiNx4WFBI-0-0840a896361afd97e10bec2d156d44a2)
图2-31 周期性矩形波的频谱
周期信号频谱的特点是离散性、谐波性、收敛性。谱线间隔为ω0=2π/T0。
信号的能量主要集中在低频段,幅值为基波幅值2%以上的谐波分量周期矩形有25个,全波整流有6个,三角波有4个。
(2)非周期信号及其频谱
非周期信号包括准周期信号和瞬变信号,主要是指瞬变信号。非周期信号可以认为是周期为无穷大的周期信号。
周期信号是离散谱线,谱线间隔为2π/T0,当T0趋近于无穷大时,谱线间隔趋近于零,因此非周期信号的谱线是连续谱线。
非周期信号的傅里叶变换:
(2-28)
(2-29)
(2-30)
式中,Cn为复数,是频谱;X(f)为复变函数,是频谱密度。
典型信号的时域与频域的关系如图2-32所示。
![](https://epubservercos.yuewen.com/B0B314/21838929508260306/epubprivate/OEBPS/Images/Figure-P35_3560.jpg?sign=1739174514-Owbin28Q9a4eUDlip7HNWdeQnsdxpY0l-0-3d283e06e1a1f18bd2e8c3f0ed503b02)
图2-32 典型信号的时域与频域的关系
2.2.2.3 功率谱分析
若自相关函数的傅里叶变换存在,则定义其傅里叶变换为自功率谱函数:
(2-31)
若互相关函数的傅里叶变换存在,则定义其傅里叶变换为互功率谱函数:
(2-32)
除了时域分析和频域分析外,还有基于拉普拉斯变换的复频域分析法。
2.2.2.4 采样定理
采样是将采样脉冲序列p(t)与信号x(t)相乘,取离散点x(nt)的值的过程。
为保证采样后信号能真实地保留原始模拟信号信息,信号采样频率必须至少为原信号中最高频率成分的2倍。这是采样的基本法则,称为采样定理。即:
fs>2fmax (2-33)
需注意,满足采样定理,只保证不发生频率混叠,而不能保证此时的采样信号能真实地反映原信号x(t)。工程实际中,采样频率通常大于信号中最高频率成分的3~5倍。
2.2.2.5 离散傅里叶变换
离散傅里叶变换(Discrete Fourier Transform)一词是为适应计算机作傅里叶变换运算而引出的一个专用名词。
周期信号x(t)的傅里叶变换:
(2-34)
快速傅里叶变换(FFT)是离散傅里叶变换的一种有效的算法,通过选择和重新排列中间结果,减少运算量。
2.2.2.6 信号的截断、能量泄漏
用计算机进行测试信号处理时,不可能对无限长的信号进行测量和运算,而是取其有限的时间片段进行分析,这个过程称信号截断,如图2-33所示。
![](https://epubservercos.yuewen.com/B0B314/21838929508260306/epubprivate/OEBPS/Images/Figure-P36_26581.jpg?sign=1739174514-x3SADmiAmHERKqyPLHa5A09goOjsFELo-0-6f8bf086169d4b78313e80111f499b3c)
图2-33 信号截断过程
为便于数学处理,对截断信号做周期延拓,得到虚拟的无限长信号。
设有余弦信号x(t),用矩形窗函数ω(t)与其相乘,得到截断信号y(t)=x(t)ω(t),如图2-34所示。
![](https://epubservercos.yuewen.com/B0B314/21838929508260306/epubprivate/OEBPS/Images/Figure-P36_26582.jpg?sign=1739174514-7Yq4tJZJ7qQlzjVW9zldcG2yE8Eoc13Q-0-4b7f556451db76b82ac1a38bbb27525d)
图2-34 截断信号的获取方法示意图
值得注意的是,周期延拓信号与真实信号是不同的。这是因为有能量泄漏误差,如图2-35所示。
![](https://epubservercos.yuewen.com/B0B314/21838929508260306/epubprivate/OEBPS/Images/Figure-P36_26583.jpg?sign=1739174514-eyLyHekT0chxaN6ikaPQ4fHlfqQACDuQ-0-3b5c5ec15c0e157e074a52501c9dfbc5)
图2-35 周期延拓信号与真实信号对比图
克服方法之一:信号整周期截断,如图2-36所示。
![](https://epubservercos.yuewen.com/B0B314/21838929508260306/epubprivate/OEBPS/Images/Figure-P37_26587.jpg?sign=1739174514-77dueEqFGsrOwWCQFgESqGB7yTtUVrDI-0-754a64d5ba7ca4abf3dc9d512ee0cb2f)
图2-36 信号整周期截断
2.2.2.7 栅栏效应与窗函数
(1)栅栏效应
采用FFT算法计算信号频谱,设数据点数为N,采样频率为fs。则计算得到的离散频率点为xs(fi),;i=0,1,…,N/2。离散频率点图如图2-37所示。
![](https://epubservercos.yuewen.com/B0B314/21838929508260306/epubprivate/OEBPS/Images/Figure-P37_26591.jpg?sign=1739174514-mANp2evmnzrmqy1kCJpi9KAgJmER9YJp-0-90231ee91a07df8e878aba7fa712da5b)
图2-37 离散频率点图
(2)能量泄漏与栅栏效应的关系
频谱的离散取样造成了栅栏效应,谱峰越尖锐,产生误差的可能性就越大。例如,余弦信号的频谱为线谱。当信号频率与频谱离散取样点不等时,栅栏效应的误差为无穷大。
实际应用中,由于信号截断的原因,产生了能量泄漏,即使信号频率与频谱离散取样点不相等,也能得到该频率分量的一个近似值。从这个意义上说,能量泄漏误差不完全是有害的。如果没有信号截断产生的能量泄漏,频谱离散取样造成的栅栏效应误差将是不能接受的。
能量泄漏分主瓣泄漏和旁瓣泄漏,主瓣泄漏可以减小因栅栏效应带来的谱峰幅值估计误差,有其好的一面,而旁瓣泄漏则是完全有害的,谱窗形状如图2-38所示。
![](https://epubservercos.yuewen.com/B0B314/21838929508260306/epubprivate/OEBPS/Images/Figure-P37_26592.jpg?sign=1739174514-QPTHVGYtoKTGqXB6dnDd8pri0V3SpMep-0-60a3c4f133243460786d4c38d8cd3259)
图2-38 谱窗形状
(3)常用的窗函数
通过加窗控制能量泄漏,减小栅栏效应误差,常用窗函数如图2-39所示。
![](https://epubservercos.yuewen.com/B0B314/21838929508260306/epubprivate/OEBPS/Images/Figure-P38_26593.jpg?sign=1739174514-Y4xKNCQDOVLdat5uXDxJlBAGcZLGKSLZ-0-8fc29de91dc71e1a0e1e016bc39292d7)
图2-39 常用窗函数
①矩形窗(图2-40)
![](https://epubservercos.yuewen.com/B0B314/21838929508260306/epubprivate/OEBPS/Images/Figure-P38_26594.jpg?sign=1739174514-RK10nZjqDuo0Or1e1lBgHMRoiRoKmkpn-0-8e95486d67f2d070466913f9bd6774b9)
图2-40 矩形窗
(2-35)
②三角窗(图2-41)
![](https://epubservercos.yuewen.com/B0B314/21838929508260306/epubprivate/OEBPS/Images/Figure-P38_26599.jpg?sign=1739174514-U4T9OuCQMqJP3yYc7Ps6EPlvqaTilBEL-0-f0ec4f4263d2b339a3e70b6046d700cd)
图2-41 三角窗
(2-36)
③汉宁窗(图2-42)
(2-37)
![](https://epubservercos.yuewen.com/B0B314/21838929508260306/epubprivate/OEBPS/Images/Figure-P39_26607.jpg?sign=1739174514-dUL0ahRi3OZ2sPcWS8ZhaH3muaisqP7A-0-5695ba577620218be5e92f0285619ae4)
图2-42 汉宁窗
(4)矩形窗和汉宁窗(图2-43)
![](https://epubservercos.yuewen.com/B0B314/21838929508260306/epubprivate/OEBPS/Images/Figure-P39_26608.jpg?sign=1739174514-VwHZH63LmeIJ6FXag3SIcXKxA0US1bpQ-0-38e9c172056eb919cfd76aeba6d83622)
图2-43 矩形窗和汉宁窗
(2-38)