3.1　早期的二元模型

1900年，普朗克写出了著名的黑体辐射公式。实验曲线与基本理论直接相关的情况在物理中通常不会发生。但是，黑体辐射是一个例外。普朗克写出的黑体辐射公式直接催生了量子概念。

20世纪60年代，强相互作用中的一个未解之谜就是有强相互作用的粒子（强子）巨量增值。强子的共振似乎存在高自旋。自旋为J的最轻粒子的质量平方为，其中～1（GeV）-2，是恒量，被称为雷吉斜率。通过这一公式得出J=11/2，这一结果可能会持续下去。在任何情况下，高自旋基本粒子的自洽理论都是不存在的。自洽（可正则化）的量子场理论仅在自旋为0、1/2和1这3种情况下存在，而强相互作用的共振态如此之多，它们都是基本粒子，这些基本粒子的自旋巨量增值显然是不合理的。

强相互作用的难题在于散射振幅的高能行为。考虑弹性散射过程，入射粒子无自旋，其动量分别为P1和P2，出射粒子的动量分别为P3和P4。以符号{-+++}标记度规，以使粒子的质量平方m2=-P2。曼德尔斯塔姆变量的定义为

则有恒等式：

在图3.1中，设外态是π介子之类的粒子，在“味”群的伴随表示中变换，对3种“味”是SU(3)群或者U(3)群。第i个外部介子的“味”量子数通过选择一个“味”矩阵λi来指定。我们将讨论散射振幅中正比于群理论因子tr(λ1λ2λ3λ4)的那一项。由于该群理论因子在循环置换1234→2341中不变，所以玻色统计要求对应的振幅在P1P2P3P4→P2P3P4P1变换下循环对称。按照曼德尔斯塔姆变量，这个动量序的s→t排列是对称的，故要求振幅A(s,t)也对称。

在量子场理论中，对散射振幅的主要贡献来自树图，如图3.1所示。因为高自旋互换粒子的树图具有不良的高能行为，所以构建高自旋互换粒子的量子理论很困难，它们会渐近地越过幺正边界。例如，考虑t-通道图，在图3.1中，外部粒子以ϕ表示，而交换的粒子以σ表示。若σ粒子的自旋为零，图3.1中包括一个简单的相互作用，则振幅就是，其中g是耦合常数；M是σ粒子的质量。该振幅在t→∞时消失。这是我们正在讨论的三次方标量相互作用中良好的高能行为的一个方面。

假设σ粒子有自旋为J的场，该场是图3.1中的三次方耦合，必须是类似的某个东西。图3.2中现在有2J个动量因子。若外部因子是标量，则在高能情况下t-通道中该自旋为J的粒子对散射振幅的相互交换具有形式：

因此，该振幅的行为对于越来越大的J将趋于发散。n-维单-循环被积函数约为，其中A是式（3.1.2）的树振幅。在4-维时空中，这样的圈图对J<1收敛，对J=1有潜在的可正则化的对数发散，对J>1有不可正则化的发散。

在t-通道中存在各种不同质量的强子和可相互交换的自旋，故有

所以我们应该允许这种可能性存在，即可交换粒子的耦合gJ和质量MJ依赖于J。式（3.1.3）中高能行为的和若有限，则高能行为就简单地决定于强子的最高自旋。这与自然观察到的结果截然不同。实际上，强子散射振幅的高能行为比式（3.1.3）中的任何项都柔弱得多。换言之，认为式（3.1.3）为有限和没有道理。当然，似乎没有“作为强子的最高自旋”这种事情存在。式（3.1.3）作为一个无限和，可以有一个高能行为，自然优于级数中任何个别项的行为，恰如函数e-x在x→∞时小于幂级数表达式中的任一项。

我们早期讨论的循环对称要求散射振幅中迹tr(λ1λ2λ3λ4)的系数具有s-通道极或t-通道极，或两者都有。式（3.1.3）定义了一个振幅A(s,t)，它不具有s-通道极；对于固定的t，式（3.1.3）定义了一个关于s的整函数，使和式中仅存在有限项。因此，普通量子场理论的微扰展开通过s-通道和t-通道精确地满足了交叉对称。在无限项和的情况中，则有所不同。尽管式（3.1.3）中每一项都是关于s的整函数，但无限项的和在s的某一有限值处却可能发散，在s-通道中给出极点。因此，式（3.1.3）本质上是无穷级数。

类似地，如果取始点为s-通道极的散射振幅，则可构建一个类似于式（3.1.3）的振幅，它具有s-通道极而不是t-通道极：

外部动量循环置换下的对称性要求具有相同的动量，并且出现在式（3.1.3）中的耦合同样出现在式（3.1.4）中。研究式（3.1.4），我们再次看到有限项和不可避免的高能行为比观察到的强子行为更糟糕。但对于无限项和，这可能不是真的。

沿着这一思路思考，若耦合gJ和质量MJ被巧妙地选择，则s-通道和t-通道的振幅和A(s,t)将是相等的，这时整个振幅可以写成仅遍及s-通道极的和，如式（3.1.4）所示，或者仅遍及t-通道极的和，如式（3.1.3）所示。

1968年Dolen、Horn和Schmid认为，在近似情况下式（3.1.3）和式（3.1.4）相等，即A(s,t)=，这叫作二元假设：假设s-通道和t-通道给出对偶的相同物理学描述。

就在人们为描述强相互作用理论而一筹未展之际，意大利科学家维尼齐亚诺于1968年偶然看到了数学家欧拉百年前写下的一个公式——欧拉公式。于是他假设关于散射振幅的公式为

式中，Г是伽马函数；是雷吉轨迹，其线性形式为，其中分别是雷吉斜率和截距。同时定义：

当时谁也没有想到，维尼齐亚诺的发现开启了理论物理学的新时代。

3.1.1　维尼齐亚诺振幅及其对偶性

维尼齐亚诺振幅服从对偶性，伽马函数具有下述性质。

（1）

证明：根据式（3.1.6），利用分部积分法得

（2）

证明：由式（3.1.6）可得。

（3）

证明：若u是正整数，则反复应用式（3.1.7）可得。

（4）

证明：由式（3.1.9）可得。

（5）

证明：重复应用式（3.1.9），可得。

（6）

证明：由式（3.1.6）得

令

（7）

下面讨论贝塔函数的解析行为：

式（3.1.14）叫作贝塔函数，其通过A(s,t)=与维尼齐亚诺振幅相联系。显然，当u或v是非负整数时，式（3.1.14）有单极点，不存在双极点，因为当Г(u)和Г(v)同时有极点时，分母也有极点。当v～-n时，B(u,v)的行为显然是

为了写出v=-n处的留数，这里应用了式（3.1.9）。式（3.1.15）是关于u的多项式。若固定u，则作为关于v的函数，B(u,v)仅有式（3.1.15）中显示的奇异性。对于Reu>0，为了使B(u,v)的无限和收敛，要求能够写出：

我们的想法是，式（3.1.15）右边和贝塔函数的所有奇异性可能不同于复v平面上没有奇异性的函数。这样的函数，对于大|v|不能消失；对于正u和大|v|（远离实轴），式（3.1.16）等号右边的和消失。

将式（3.1.16）表达为维尼齐亚诺振幅：

因为振幅的定义遵守A(s,t)=A(t,s)，所以由对称性可得替代展开式为

由于雷吉轨迹的简单选择，，式（3.1.17）的奇异点是对应的简单极点，如式（3.1.3），对t-通道交换的粒子质量平分为（n=0,1,2,…）。从式（3.1.3）的视角看来，对应于质量平方为[n-α(0)]/α'的粒子在n最大时具有自旋J。因此，自旋为J的粒子的最小质量平方是[J-α(0)]/α'。这就是为什么α'被称为雷吉斜率。

维尼齐亚诺振幅的积分表达形式为

式（3.1.20）中使用了分部积分公式。借助式（3.1.9），贝塔函数遵守同样的恒等式：

C(u,v)还遵守另一个递推公式：

可以证明B(u,v)=C(u,v)。因此可得关于维尼齐亚诺振幅的积分表达式为

3.1.2　维尼齐亚诺振幅的高能行为

首先考虑维尼齐亚诺振幅的高能渐近行为。固定t，先考虑大s的雷吉区域。大s、固定的t对应于高能小角散射区域，该区域的现象学给出雷吉极点理论和最终的二元模型。为此，要先了解伽马函数的渐近行为。对大u，的行为容易从它的积分定义式［式（3.1.6）］中得出。该区域的鞍点评估给出斯特灵公式：

由式（3.1.23）得，维尼齐亚诺振幅为

在大s区域，对固定的t，有渐近行为：

式（3.1.26）对整体复s平面有效，只要不取太接近正实s轴的点即可。在物理区域，对大s，A(s,t)具有许多零点和极点。如果在这些零点和极点处取平均，则式（3.1.26）在平均的意义上有效。交换自旋为J的单个基本粒子，比较式（3.1.26）与关于散射的一般公式［式（3.1.5）］。这时，对于大s和固定的t，振幅的渐近行为将是A(s,t)～sJ。故式（3.1.26）对应于以下渐近行为：由t-通道交换产生的粒子只依赖于变量t，角动量为J=α(t)。这就是雷吉极点理论，即任意t-通道的大角动量粒子可在高能状态下交换一个t-通道的角动量为J=α(t)的虚拟粒子而获得有效描述。不考虑雷吉极限，而就某一散射角考虑维尼齐亚诺振幅的高能行为是有益的。容易看到，在高能状态下，s、t和质心散射角θs存在下述关系：

2t=-s(1-cosθs)

（3.1.27）

利用斯特灵公式可以证明，维尼齐亚诺振幅的渐近行为对大s和固定的θs有

A(s,t)～[F(θs)]-α(s)

（3.1.28）

式中，F(θs)是质心散射角的某个函数。故对于固定的质心散射角，高能散射振幅随s减小而下降。

3.1.3　维尼齐亚诺模型评估

维尼齐亚诺模型的提出，向世人展示了一个完全崭新的理论，这是一次重大创新。但在某些方面维尼齐亚诺模型导致的结果非常糟糕。二元假设从来没有得到任何实验的验证。维尼齐亚诺模型仅是满足这个糟糕但又极具积极意义的假设的一种方案。该模型展示了一个空前丰富的理论结构，吸收了大量物理学研究成果，并且产生了令人惊喜的作用：维尼齐亚诺模型是真正的相对论弦模型，在合并费米子的过程中出现了阶化李代数，使人们见识到了26-维玻色弦理论和10-维超弦理论。但它一直未能像研究者希望的那样成为强相互作用的基本理论。