2.2　一元函数的微分

微分在大数据实际应用中起着非常重要的作用。下面给出一个实例。

正方形金属薄片的大小会随温度的变化而变化，当其边长由变到时，此薄片面积改变了多少？

解：假设薄片的边长为，面积为，则。此时，薄片受温度变化产生的面积的改变量，可以表示为当自变量从到时，面积相应的增量，即

（2.2）

从式（2.2）可以看出，分成两部分，第一部分是的线性函数，而第二部分在图2-1中是交叉的小正方形的面积，当时，是的高阶无穷小，即。因此，当趋近于零时，可用第一部分来近似表示。

图2-1　正方形分割示意

因此，当函数满足相应条件时，可表示为

其中，是常数，是的线性函数。因为是的高阶无穷小，当，同时非常小时，可以由来近似表示。