1.1.6 电路的分析方法

1.基尔霍夫定律

只含有一个电源的电路称为简单电路，简单电路的分析计算通过串并联化简和欧姆定律即可求解；但在生产实践中常会遇到含有两个及两个以上电源的电路即复杂电路，复杂电路不能用串并联实现化简，仅靠欧姆定律无法求解，这类电路的分析计算就要用到基尔霍夫定律（Kirchhoff's laws）。

基尔霍夫定律是德国物理学家基尔霍夫于1845年提出的，它是电路中电压和电流所遵循的基本规律，是分析和计算复杂电路的基础。基尔霍夫定律包括基尔霍夫电流定律（KCL）和基尔霍夫电压定律（KVL）。

（1）电路名词

以图1-36为例，先介绍几个与电路结构有关的名词。

支路：电路中流过同一电流的每一分支即为一条支路，支路数用b表示。图1-36中共有acdb、ab、aefb三条支路，即b=3。

节点：三条或三条以上支路的连接点，节点数用n表示。图1-36中共有a、b两个节点，即n=2。

回路：电路中的任一闭合路径，回路数用l表示。图1-36中共有acdba、aefba、acdbfea三个回路，即l=3。

网孔：内部不含支路的单孔回路，网孔数用m表示。对平面电路，每个网眼即为网孔，网孔是回路，但回路不一定是网孔。图1-36中共有acdba、aefba两个网孔，即m=2。

可以证明，对任意电路，根据欧拉公式有

（2）基尔霍夫电流定律

基尔霍夫电流定律（简称KCL），是确定电路中任意节点处各支路电流之间关系的定律，所以又称节点电流定律，其依据的是电流的连续性，即电荷守恒定律。

第一种表述：在任一时刻，流出任一节点的支路电流之和等于流入该结点的支路电流之和，即

图1-37所示，对节点a，有

i₁+i₂=i₃

第二种表述：在任一时刻，流入任一节点的所有支路电流的代数和恒等于零，即

式（1-36）中，一般可在流入节点的电流前面取（+）号，在流出节点的电流前面取（-）号，反之亦然。那么同样根据图1-37，对节点a，则有

-i₁-i₂+i₃=0

KCL不仅适用于电路中的节点，还可推广应用于电路中任一不包含电源的闭合面（该闭合面也称为广义节点）。图1-38a所示三个电阻连成了一个闭合面，与该闭合面相连的三条支路电流，根据KCL有I_A+I_B+I_C=0；如图1-38b所示，有i₁-i₂=0。

（3）基尔霍夫电压定律

基尔霍夫电压定律（简称KVL），是确定电路回路中各部分电压之间关系的定律，所以又称回路电压定律，其依据的是电位的单值性，即使电荷沿着闭合的回路环绕一周回到原点，电场力所做的功为零，该点的瞬时电位不会发生变化。

第一种表述：在任一时刻，任一回路绕行方向上的电位下降之和等于电位上升之和，即

对如图1-39所示的回路沿绕行方向有

U₁+U₄=U₂+U₃

第二种表述：在任一时刻，沿任一回路绕行方向，回路中各段电压的代数和恒等于零，即

式（1-38）中，当电压的参考方向与绕行方向一致时前面取（+）号，相反时则前面取（-）号，反之亦然。那么同样根据图1-39，沿着回路沿绕行方向则有

U₁+U₄-U₂-U₃=0

KVL不仅适用于电路中的闭合回路，还可推广应用于任一假想回路。也就是说，电路中任意两点间的电压会等于这两点间沿任意路径各段电压的代数和。对于如图1-40所示的电路可列出

u_S+u₁=u或u-u_S-u₁=0

2.电路的简化与变换

实际电路的结构和性能复杂多样，如果对某些实际电路直接进行分析计算，步骤将很烦琐，工作量很大。因此，可以根据电路的结构特点选择合适的方法使其简化，简化之后再进行分析计算。等效变换就是其中的一种重要方法。

（1）电路的等效概念

任何一个复杂的电路网络，如果对外引出两个端钮，则称为二端网络，其表示符号如图1-41a所示。若二端网络内部不含电源，则称为无源二端网络，图1-41b所示为一个无源二端网络的例子；若二端网络内部含有电源，则称为有源二端网络，图1-41c为一个有源二端网络的例子。

对任何两个二端网络，尽管它们的内部结构可能不同，但只要两个网络端口的伏安特性相同（见图1-42，即I₁=I₂, U₁=U₂），则称这两个二端网络对外电路等效。在等效条件下，可以将一个较复杂的网络等效变换成另一个较简单的网络，从而实现电路的简化。等效变换只适用于线性网络，不适用于非线性网络。

（2）理想电源电路的等效变换

1）理想电压源的串联。多个理想电压源串联时，可等效成一个理想电压源，等效理想电压源的源电压等于所串联的所有理想电压源源电压的代数和，如图1-43所示，有

U_S=U_S1+U_S2-U_S3

2）理想电流源的并联。多个理想电流源并联时，可等效成一个理想电流源，等效理想电流源的源电流等于并联的所有理想电流源源电流的代数和，如图1-44所示，有

I_S=I_S1+I_S2-I_S3

3）理想电压源与任意电路元件的并联。理想电压源与任意电路元件并联时不影响该电压源两端的输出电压，故对外电路等效时可省去，如图1-45所示。

4）理想电流源与任意电路元件的串联。理想电流源与任意电路元件串联时不影响该电流源的输出电流，故对外电路等效时同样可省去，如图1-46所示。

（3）实际电源电路的等效变换

一个实际电源可以用两种不同的模型来表示，即电压源模型和电流源模型，虽然是不同的表现形式，但实质反映的是同一个电源的伏安特性，也就是说这两种模型之间可以进行等效变换。那么，两者等效变换的具体条件是什么呢？

图1-47所示分别为同一实际电源的电压源模型和电流源模型，两个模型的伏安特性相同，即对外电路提供的电压和电流都为U和I。

由图1-47a得

U=U_S-IR₀

由图1-47b得

比较上述两式，可得实际电源的等效变换条件为

即两电源模型的内电阻相等，且电压源电压U_S、电流源电流I_S以及内阻R₀（或）之间满足欧姆定律的形式。

【例1-1】请分别完成图1-48所示两个实际电源电路的等效变换。

解：由图1-48a可知：

可得该电压源的等效电路为

由图1-48b可知：

可得该电流源的等效电路为

3.支路电流法

支路电流法是以支路电流为待求量，应用KCL和KVL列写出电路方程组，然后联立求解的方法。它是复杂电路分析最基本的方法，本质上就是基尔霍夫定律的应用。

支路电流法需要列出的方程个数与电路的支路数相等，若电路中有b条支路，则需列出b个独立方程。图1-49所示，支路数为b=3，节点数为n=2，网孔数为m=2，以支路电流I₁、I₂、I₃为待求量，则共须列出三个独立方程。

应用支路电流法求解的一般步骤如下。

1）确定各支路电流的参考方向，应用KCL列节点电流方程。可以证明，对于有n个节点的电路，只能列出（n-1）个独立方程。

在图1-49中，两个节点则只能列出一个独立方程。

对节点a：I₁+I₂-I₃=0。

对节点b：-I₁-I₂+I₃=0。

显然，上述两个方程实为同一方程，任意取其一即可。

2）选定回路的绕行方向，应用KVL列回路电压方程。同样可以证明，只能列出b-（n-1）个独立方程。由欧拉公式可得b-（n-1）即为网孔数m，所以一般选网孔作为回路列出对应方程；否则，每选一个回路时应包含一条新支路。

在图1-49中，三个回路则只能列出两个独立方程。

对左边网孔：R₁I₁+R₃I₃-U_S1=0。

对右边网孔：-R₂I₂-R₃I₃+U_S2=0。

对最外面的回路按顺时针绕行方向：R₁I₁-R₂I₂+U_S2-U_S1=0。

上述三个方程中，任一方程可由另外两个方程推导而出，即只有两个独立方程，故任意取其二即可。

3）联立上述b个独立方程，即可求出各支路电流。

【例1-2】如图1-49所示，若R₁=R₂=R₃=1Ω，U_S1=9V，U_S2=3V，求各支路电流。

解：各支路电流参考方向和网孔绕行方向已在图中标出。

对节点a：I₁+I₂-I₃=0。

对左边网孔：R₁I₁+R₃I₃-U_S1=0。

对右边网孔：-R₂I₂-R₃I₃+U_S2=0。

将已知量代入上述三个独立方程可得

I₁+I₂-I₃=0

I₁+I₃-9V=0

-I₂-I₃+3V=0

最后，联立求解得

I₁=5A，I₂=-1A，I₃=4A

4.戴维南定理

分析线性含源的复杂电路时，若只需求解某一条支路的电流或电压，运用戴维南定理是简便的。戴维南定理是由法国科学家戴维南于1883年提出的，由于亥姆霍兹早在1853年也提出过相似的定理，所以又称亥姆霍兹-戴维南定理。

戴维南定理表述为：任何一个线性有源二端网络N，对外电路而言，总可以用一个理想电压源和电阻串联的等效电路来代替；其中理想电压源的电压U_S等于该二端网络的开路电压U₀，电阻阻值R₀等于该二端网络所有电源置零（即电压源短路，电流源开路）时的等效电阻R_ab。该二端网络所有电源置零时，将得到一个无源二端网络N₀，整个等效过程如图1-50所示。

运用戴维南定理解题的一般步骤如下。

1）断开待求支路。将待求支路作为外电路，剩余部分则看成一个有源二端网络。

2）计算有源二端网络的开路电压U₀。通常运用基尔霍夫电压定律的推广，选择合适的包含开路电压U₀的假想回路列方程，进而求出开路电压。

3）计算等效电阻R_ab。将有源二端网络中的所有电源置零（即电压源短路，电流源开路），则得到一个无源二端网络，求出其两个端子之间的等效电阻。

4）用等效电压源代替有源二端网络，将待求支路接入，求出待求量。等效电压源中的理想电压源电压U_S就等于开路电压U₀，内阻阻值R₀就等于等效电阻R_ab。要注意的是，理想电压源的极性必须与开路电压的极性保持一致。

5.叠加定理

叠加定理是线性电路普遍适用的电路分析方法，可将含有多个电源的复杂电路分析简化成若干个单电源的简单电路分析。其表述为：在线性电路中，如果有多个电源共同作用，则任一支路的电流（或电压）会等于各个电源单独作用时，在该支路上所产生的电流（或电压）的代数和。

所谓电源单独作用，是指其中一个电源作用时，其他电源不作用（即置零），电压源不作用时应视为短路，电流源不作用时应视为开路。

【例1-3】用叠加定理求图1-51a所示电路中的电流I₁和I₂。

解：（1）电压源单独作用时，电流源置零即视为开路，电路如图1-51b所示，可得

（2）电流源单独作用时，电压源置零即视为短路，电路如图1-51c所示，由分流公式可得

（3）由叠加定理得

综上所述，应用叠加定理求解的一般步骤如下：

1）先分解。将原电路分解成各个电源单独作用的分图（即简单电路），分图数目和原电路电源数目相同。

2）再计算。根据简单电路分析方法，分别计算出各分图中相应的分量。

3）后叠加。原电路中待求支路的电流（或电压）等于各分量的代数和。

运用叠加定理时，应注意以下几点：

1）叠加定理仅适用于线性电路。它可以用来计算电路中的电流和电压，但不能用来计算功率，因为功率与电压、电流之间不是线性关系。

2）分解成电源单独作用时，只能将不作用的电压源短路，将不作用的电流源开路，电路的结构应保持不变。

3）叠加时要注意参考方向。电流（或电压）分量的参考方向和总量一致时取正值，相反时取负值。