2.1.3 基于一个局部坐标系定义另一个局部坐标系

在图2.4a中，Σ_a是作为基准的局部坐标系Σ_b。Σ_b是与小臂一起运动的局部坐标系，胳膊肘挺直的状态下坐标轴设定为和Σ_a平行。Σ_b的x、y、z方向的单位向量分别为。如果胳膊的回转角度是θ，那么

胳膊关节围绕y轴旋转，因此只有^ae_bx和^ae_bz会发生变化。此外，这些向量都以Σ_a为基准定义，因此左上方会加上字母a。

图2.4 大臂的局部坐标系Σ_a和小臂局部坐标系Σ_b

三个单位矩阵由以下矩阵^aR_b定义。

从Σ_b的视角得到将手指位置^bp_h（见图2.4a）转换为^ap_h的公式。

在这里，同次变换矩阵^bT_a有如下定义。

bp_b是在Σ_a上观察到的Σ_b的原点。

把式（2.10）代入式（2.7），从Σ_b视角指尖位置在世界坐标系中指尖位置变换的式子可以从下式求得。

把式（2.11）右边的同次变换矩阵的乘积归纳为T_b，可得

T_b≡T_a^aT_b

矩阵T_b是一个以世界坐标系形式表示Σ_b的同次变换矩阵，可以用于表示大臂的位置和姿态。T_a会随着肩膀的旋转而变化，^aT_b是会随着手肘的旋转而变化，这很好地表现了T_b受到这两方面的影响。