命题I.14

两条不在一边的射线过任意直线上的一点，所构成的邻角若等于两个直角的和（平角），那么这两条射线构成一条直线。

设：AB为任意射线，B是射线的端点，两条射线BC、BD不在一边，构成邻角∠ABC、∠ABD，其和为两个直角（平角）。

求证：BD与CB在同一条直线上。

假设：BD与BC不在同一直线上，而BΕ才与CB在同一直线上。

因为：射线AB位于直线CBΕ上。

那么：∠ABC、∠ABΕ的和就等于两个直角（命题I.13），而∠ABC、∠ABD的和也等于两个直角；于是∠CBA、∠ABΕ的和也就等于∠CBA、∠ABD的和（公设I.4及公理I.1）。

设：从各角中减去∠CBA。

那么：剩余∠ABΕ等于剩余∠ABD（公理I.3），小角等于大角。

所以：假设不能成立。BΕ与CB不在同一条直线上。

同理可证：除了BD以外，也没有别的线。

所以：CB与BD在同一直线上。

所以：两条不在一边的射线过任意直线上的一点，所构成的邻角若等于两个直角的和（平角），那么这两条射线构成一条直线。

证完

注解

本命题是上一命题的逆命题。仅适用在平面几何中，如果A、B、C、D不在同一平面，那么CBD就不能为直线。

本命题被利用在本卷的I.45、I.47中，在卷6、11的几个命题中也有应用。