命题I.15

两条直线相交，对顶角相等。

设：AB、CD两条直线相交于Ε点。

求证：∠AΕC等于∠DΕB，∠CΕB等于∠AΕD。

因为：射线AΕ立在直线CD上，构成∠CΕA、∠AΕD，∠CΕA、∠AΕD的和等于两个直角（命题I.13）。

又，线段DΕ立在线段AB上，构成∠AΕD、∠DΕB，∠AΕD、∠DΕB的和等于两个直角（命题I.13）。又：∠CΕA、∠AΕD的和也能证明出等于两个直角。

所以：∠CΕA、∠AΕD的和等于∠AΕD、∠DΕB的和（公设I.4、公理I.1）。

令：从各角中减去∠AΕD。

于是：剩余∠CΕA等于剩余∠BΕD（公理I.3）。

同理可证：∠CΕB、∠DΕA也相等。

所以：两条直线相交，对顶角相等。

证完

推论

此命题也表明：两条直线相交，在相交点形成的角等于四个直角的和（360°）。

注解

虽然欧几里得并未定义“直角”，但其意义却明确地应用在本命题中。关于“推论”有这样一种说法：这可能是后人的插入。因为如果它是欧几里得所作，那么它应该被绑定在命题本身里，或者干脆成为另一命题。

本命题被利用在以后的几个命题中，并在II.10及IV.15中被利用。